次の微分方程式の解を超幾何級数を用いて求めたい

質問

皆さんよろしくお願いいたします

dy/dx =(x-b)^(3a/2)/(x^2+bx)

ここで、a, b は定数で常に x>b, x>0, b>0, a>0です。
この微分方程式は、ガウスの超幾何級数で求められるらしい（添付画像参照）のですが、
解き方が分かりません。
解法を途中を含めて教えていただけると助かります。

試しに以下サイトで左辺を積分すると

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

2(x-b)^(3a/2) {(1-bx)^(-3a/2) 2F1(-3a/2, -3a/2; 1-3a/2; b/x) - (1-2b/(b+x))^(-3a/2) 2F1((-3a/2, -3a/2; 1-3a/2; 2b/(b+x)) }

となりました。これはどのように計算すると導けるのでしょうか。

回答No.5

ask-it-aurora

<回答No.4お礼

>URLに上記解を微分して微分方程式の右辺と同じになるか確認するには、どのようにしたらよいでしょうか。

そういうことは少なくとも自分でマニュアルくらいは調べてから人に聞いてください．ちょっと検索すれば http://www.sagemath.org/doc/reference/functions/sage/functions/special.html#sage.functions.special.hypergeometric_U が見つかりますが，コレを見る限りでは一般化された超幾何関数は実装されていないようです．

実際に手を動かしてみました．回答No.3で
>一般論としては ∫Σf_n = Σ∫f_n と無限和とリーマン積分が順序交換できる十分条件は f_n が一様収束しているときです．
と書きましたが，きちんと本で調べたら「有界閉区間上で」という条件もありました．なのでこの場合は使えません．またルベーグの収束定理を使おうかとも思いましたが，どうも上からうまい可測関数で評価できなかったので使えなさそうです（見つけられなかっただけかもしれませんが）．形式的に積分した結果，解はきっと
Σ_{0 ≦ n < ∞} (x^{n + α - 1})/(n + α - 1) Σ_{0 ≦ r ≦ n} [α : n - r] b^{α - r} (-1)^r
（ただし α := 3a/2 ≠ 1, 0, -1, -2, -3, … のとき）
と書けるのではと予想はしています（回答No.1ではaとbを混同したりしていたので，これとは違います．まだつまらない計算間違いもあるかもしれませんが）．けれどもこれが微分方程式を満たしているかどうか確かめようとすると項別微分をしたくなるのですが「有界閉区間上で一様収束」していればいいんですが，この場合は項別微分できるかどうか，よくわからないので確かめようがなくて参っています．降参です．

回答No.4

ask-it-aurora

話は変わりますが，実際に微分方程式を解かなくても，どんな感じの関数が解になるかは計算させてみればわかりますね．僕はその微分方程式の出処を知らないので，どんなパラメータが適切かはわかりませんが，適当にいじって遊んでみると楽しいかもしれません．

参考URL：

http://aleph.sagemath.org/?q=8946324f-099e-42d3-99c7-4763525d2549

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
おっしゃる通り、実際に微分方程式に候補となる解を代入して、解ければよいと思います。
そこで、問題の微分方程式

dy/dx =(x-b)^(3a/2)/(x^2+bx)

の解が　wolfram Mathematica　で導いた解

2(x-b)^(3a/2) {(1-bx)^(-3a/2) 2F1(-3a/2, -3a/2; 1-3a/2; b/x) - (1-2b/(b+x))^(-3a/2) 2F1((-3a/2, -3a/2; 1-3a/2; 2b/(b+x)) }

であることを確認するため、ご教示いただいたURLに
上記解を微分して微分方程式の右辺と同じになるか確認するには、どのようにしたらよいでしょうか。
ご教示いただければ助かります。

回答No.3

ask-it-aurora

<回答No.2お礼

一般論としては ∫Σf_n = Σ∫f_n と無限和とリーマン積分が順序交換できる十分条件は f_n が一様収束しているときです．これを使ってひとつめの積分と無限和の順序交換を正当化するのがふつうでしょう．ふたつめは有限和なので積分の線形性から明らかに交換可能です．ルベーグの収束定理を使っても似たような議論はできます（牛刀割鶏な感じですが）．

ただこの場合は問題の f_n がまた有限の和の形をしているので上の定理が適用できるのか調べるのは面倒です．なので形式的に一端，積分と無限和を交換して計算してみて，得られた解が実際に元の微分方程式を満たしていることさえ確認すれば目的は達成できるでしょう．回答No.1の最後の方に書いてあるのはそういうことです．

## リーマン積分と無限和の交換をする十分条件が一様収束性であることは学部の1年レベルのまともな微積分の本なら必ず書いてあります．詳しくはそちらを参照してください．ルベーグの収束定理も測度論の教科書なら必ず書いてありますが，たぶんこの場合は必要ないでしょう．もし仮に必要だとしたら定理の前後をつまみ食いするだけをオススメします．最初から全部やるのはしんどいので．

回答No.2

ask-it-aurora

<回答No.1お礼

自然数 m に対してふつうの二項係数は
mCn = m!/((n - m)!n!)
と表すことができますが，自然数以外には意味をもちません．それを一般化したのが，一般化二項係数と呼ばれるもので，その場合は書かれていた
[m : n] = Γ(m + 1)/{Γ(n + 1)Γ(m - n + 1)}
が定義です．（mが自然数のときはふつうの二項係数と一致します．）あるいはポッホハマーの記号を使った定義の方が自然に見えるかもしれません．それらと一般化二項定理はたとえば参考URLにあります．

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/二項定理#.E4.B8.80.E8.88.AC.E3.81.AE.E4.BA.8C.E9.A0.85.E5.AE.9A.E7.90.86

お礼

貴重なお時間を割いて、早速の御回答を頂きありがとうございます。
補足に詳細記載しましたが、2項係数の別アプローチとして
(a,n)=a(a+1)…(a+n-1)、特に(1,n)=n!とすると

(1-b/x)^(3a/2)=Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n
(1+b/x)^-1=Σ{(1,n)/1,n)}(-b/x)^n=Σ(-b/x)^n
よって
dy/dx=(x^3a/2-2) {Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n}{Σ(-b/x)^n}

級数の積の公式{Σ(a_n)x^n}{Σ(b_n)x^n}=Σ(c_n)x^nのとき
c_n=Σ[k=0～n](a_k)(b_n-k)
を用いると
{Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n}{Σ(-b/x)^n}
＝Σ[n=0～∞]{Σ[k=0～n]{(-1)^n-k (-3a/2,k)/(1,k)}(b/x)^n
よって
dy/dx=(x^3a/2-2)Σ[n=0～∞]{Σ[k=0～n]{(-1)^n-k (-3a/2,k)/(1,k)}(b/x)^n

となりますが、これを項別積分して、超幾何級数で表せれば解けそうな気がしますが、
小生項別積分の知識がありません。
引き続き調べてみますが、ご存じであればお助け下さい。m(__)m

回答No.1

ask-it-aurora

パッと見のコメントです．超幾何級数についてよく知っているわけではないので，そのあたりはご寛恕ください．泥臭い方法です．

これは変数分離型なので右辺の積分が計算できれば，ぜんぶ終わりです．もっとも，この積分が難しそうなので困るのですが．積分を計算するために最初に思いつくアイディア―ニュートンの一般二項定理と項別積分の組み合わせ―について少し書きます．

いま x > b > 0 つまり 1 > b/x なので
(x - b)^(-1) = x^(-1) (1 + b/x)^(-1) = Σ[-1 : p] b^p/x^(p + 1)
と展開できます．ここで [m : n] は一般二項係数です．また問題にはありませんが，もし 1 > a/x ならば同様に
(x - a)^(3a/2) = x^(3a/2) (1 - a/x)^(3a/2) = Σ[3a/2 : q] (-a)^q/x^(q - 3a/2)
と展開できます．これで右辺は x^(n + 2 - 3a/2) の級数 ( n が 0 から ∞ まで動くときに p + q = n となる p, q を考える二重和)に展開できたので，これを項別に積分すれば答えが出るはずです．もちろん項別積分できるかどうかは問題ですが，それを正当化するよりは一端計算してみて出てきた答えが確かにもとの微分方程式を満たすかどうか調べた方がラクでしょう．得られたべき級数表示をうまく書き直せばきっと一般化超幾何級数でも書き表すことができるのでしょう．

お礼

ご回答いただき合ありがとうございます。大変大きなヒントと思い感動してます。
ただし、
ご教示ただいた2項係数ですが、
[m : n]＝m!/{(m-n)!n!｝なので
[-1:p]＝(-1)!/{(-1-n)!n!}となり(-1)!が出てしまいますので、
(x - b)^(-1) = x^(-1) (1 + b/x)^(-1) = Σ[-1 : p] b^p/x^(p + 1)
と表せないのではないかと疑問を持っていますがいかがでしょうか。
この問題が解決し、項別積分可能であれば、
、
[m : n]=Γ(m+1)/{Γ(n+1)Γ(m-n+1)}と表せるそうなので、

2F1(a;b;c;x)={Γ(c)/Γ(a)/Γ(b)}Σ{Γ(a+n)Γ(b+n)/Γ(c+n)}(x^n/n!)

へ導けそうです。引き続きご教示いただければ助かります。

補足

更に補足をさせていただきます。試行錯誤している小生の頭の中を羅列してますのでご堪忍ください。
(a,n)=a(a+1)…(a+n-1)、特に(1,n)=n!とすると
(1-x)^-a=Σ{(a,n)/(1,n)}x^n
となるので、分母と分子に(∗, n) の様な項をひとつづつ増やして超幾何級数
F(a,b,c；x)=Σ{(a,n)(b,n)/{(c,n)(1,n)}}x^n
を得るそうです。
問題に戻ると

(1-b/x)^(3a/2)=Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n
(1+b/x)^-1=Σ{(1,n)/1,n)}(-b/x)^n=Σ(-b/x)^n
よって
dy/dx=(x-b)^3a/2 / (x^2+bx)
={x(1-b/x)}^3a/2 / {x^2(1+b/x)}
=(x^3a/2-2) (1-b/x)^3a/2 (1+b/x)^-1
=(x^3a/2-2) {Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n}{Σ(-b/x)^n}

これを項別積分できればよいことになりますが、{Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n}{Σ(-b/x)^n}
の部分は級数の積の
公式{Σ(a_n)x^n}{Σ(b_n)x^n}=Σ(c_n)x^nのとき
c_n=Σ[k=0～n](a_k)(b_n-k)
を用いると
{Σ{(-3a/2,n)/(1,n)}(b/x)^n}{Σ(-b/x)^n}
＝Σ[n=0～∞]{Σ[k=0～n]{(-1)^n-k (-3a/2,k)/(1,k)}(b/x)^n
よって
dy/dx=(x^3a/2-2)Σ[n=0～∞]{Σ[k=0～n]{(-1)^n-k (-3a/2,k)/(1,k)}(b/x)^n
となりますが、これを積分するにはどうしたらよいのか四苦八苦してます。