円運動・単振動の問題
- 円運動・単振動の問題について解説します。
- 単振動の問題とは、振り子のように定まった周期で振動する運動のことです。
- 円運動の問題とは、半径の一定した円軌道を描く運動のことです。
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円運動.単振動の問題。
(問題文)↓ 直線と半径rの円弧からなる軌道がある。円弧はC,E,Fで直線部分となめらかにつながっている。 点B,F,Hは水平線上にあり、直線ACおよびEFは水平線と角度αをなす。 点Aから質量mの小球を静かに斜面に沿って滑り落とす。摩擦はなく、重力加速度をgとする。 (1)出発点Aでの球の高さがあるhoを超えると、球が運動の途中で軌道から浮きあがる。hoを求めよ。 軌道から外れるのはFからGの間だとは直感的にわかるんですが、でもなぜFで垂直抗力0となるのかがよくわかりません。 それとGとHの間で軌道から外れることはないんですか? もう一つこれとは別の問題で (問題文) 電車の天井から、長さlの糸で質量mの小球Pがつるされて点Aにある。 静止していた電車が水平に等加速度運動を始めると、Pは糸が鉛直と角ΘをなすAB間で振動した。 Pの運動は車内の人が見るものとし、重力加速度gとする。 (1)電車の加速度の向きと大きさを求めよ。 振動している時点で電車が等加速度運動しているとは言えなくないですか? 小球Pには慣性力が左右に行ったり来たりしているということですよね? つまり電車は左右に動いているということなんじゃないんでしょうか? この問題の言っていることを詳しく教えてほしいです。
- nico_9123
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>合力は常に左下向きに一定なのに、なぜ往復振動するという状態になるのか いえ、「重力と慣性力との合力」のことで、糸からの張力などの力を含めた「全合力」のことを言っているのではありません。 単振り子のオモリに加わっている、全ての力をあげると (1) 重力 (2) 慣性力 (3) 糸からの張力 の３つです。 以下では、振れ角(先の回答に添付した図で言えば ∠ＡＯＢ です)が、ごく小さい振動だとしておきます。また、オモリの軌道（弧ＡＢ）とＯＰとの交点、つまり振動の中心点をＣと表記します。 このとき、上の３力の全合力Ｆは、オモリ位置から始まるベクトルで （ア）オモリ位置を通る、弧ＡＢに対する接線方向で、振動の中心点Ｃが有る側の向き、 （イ）オモリ位置とＣ点と間の弧の長さに比例する大きさ になっています。 全合力Ｆは、向きも、大きさも、時々刻々変化しているのです。 ちなみに、このような性質の力は「復元力」と呼ばれ、復元力を受けて運動している物体は、単振動することがわかっています。
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- Quarks
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ANo.1です。 >「問題では、離れる区間がＦ～Ｇの間で、と但し書きがあるのでしょうか。」 >書いてありませんでした。もし仮に離れる区間がF-Gの間と書いてあったらどうなるのでしょうか? 先の回答でも触れましたように、区間を限定しないなら、「小球がＧまで到達できること」が条件となるからです。小球がＧ点まで到達できたとするなら、その後の区間のどこかで、必ず球面(軌道)から離れる(軌道から浮き上がる)ことになるのです。 そのような解答を除外するためには、問題文内で Ａ～Ｇまでの区間で離れるためには… あるいは、 Ｆ～Ｇまでの区間で離れるためには… などといった条件を付しておくべきだった、と申し上げたかったのです。 >「Ｆにおける垂直抗力を０とすればよい」ということなんですが、 >Fでの垂直抗力が0になるという証明を式で表せたりということはできますか? >もし可能であればお願いしたいのですが。 "Ｆでの垂直抗力が０になること"は、証明すべきことではありません。 Ａ～Ｇまでの区間で、小球が軌道を離れる瞬間があるとすれば、Ｆ点でしかありえない、と申し上げたのです。 実際、Ｆに達した瞬間の小球の速さが十分でなければ、(Ａ～Ｇまでの)軌道のどこかで小球が浮き上がることは起こりえないことは、先の回答で示したとおりです。 繰り返しますが、Ａ～Ｇまでの区間で軌道から離れることがなかったとすると、小球が軌道面から受ける垂直抗力が最も小さくなるのはＦ点なのです。このことを、先の回答で指摘しておきました。 ですから、Ｆで離れないなら小球は(少なくてもＧに達するまでの区間では)軌道から離れることはできません。逆に軌道から浮き上がったとするなら、それはＦ点に達した瞬間しかないのです。 ついでですから、２つ目の質問にも触れておきます。ただ、こちらは問題文が不分明ですので、添付図を示しながら、次のように問題を再構成させていただきます。 （問題） 添付図のように、電車が右向きに、一定の加速度ａで動いている。このとき、天井から吊した単振り子を観察すると、鉛直方向ＯＶに対してθだけ傾いたＯＰ方向を振動の中心とするＡ－Ｂ間で単振動していた。電車の加速度ａの大きさを、ｇ，θを用いて表せ。（角度θ＝∠ＰＯＶ） （以下はこの問題に対する解説です） 電車内の観測者にとって、彼が観察する全ての物体に慣性力が働いて見えます。 単振り子のオモリならば、重力(Ｏ→Ｖ向きで ｍｇの大きさ）と、水平方向で左向きの慣性力ｍａが働いているように見えるわけです。 ところで、重力と慣性力の比は、質量ｍには依存しないことは明らかです。 慣性力/重力＝ｍａ/(ｍｇ)＝ａ/ｇ 言い換えれば、どの物体においても、「重力と慣性力との合力」は、同じ方向を向いているのです。その方向がθの方向です。 このことは、次のように解釈することもできます。 もし、電車内で物体を"自由落下"させれば、Ｏ→Ｐの方向に"落ちていく"ように見えます。 電車内の観測者にとっては、あたかもＯ→Ｐの向きが、 自由落下する方向＝"鉛直方向" であるように扱って構わないというわけです。 彼が電車の中の事象しか観察できないとしたら、ＯＰ方向こそが、鉛直方向だと感じるだろうということです。 当然、電車内で往復運動している単振り子も、ＯＰ方向が、振動の中心の方向になっているのです。 図から明らかなように、 ｍａ/(ｍｇ)＝tanθ ですから ａ＝ｇ・tanθ だったはずだと言えます。
お礼
なるほど、そういうことだったんですか。 本当にありがとうございます。 もう一つの方も回答ありがとうございます。 合力は常に左下向きに一定なのに、なぜ往復振動するという状態になるのかがよくわかりません。 合力の向きを変えるような力は一切ないですよね? 問題の答えも、なぜ振動するかということについて一切書いてないので教えていただけないでしょうか?
- htms42
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＞ＧとＨの間で軌道から外れることはないんですか? 外れることはないようです。 ポイントはＨの高さがＢ，Ｆと同じであるということです。 Ｆで軌道から外れる条件は ｈｏ＞(ｒ/2)ｃｏｓα です。 したがって円周に沿って運動して頂上Ｇを越えることができることのできる条件はエネルギー保存則を考えて ｒ(１－ｃｏｓα)＜ｈｏ＜(ｒ/2)ｃｏｓα です。これが成り立つためには ｃｏｓα＞2/3 でなければいけません。 Ｇをｖｏで通過した物体が円周に沿って運動し、円から離れる位置での角度をθとします。 ｃｏｓθ＝２／３＋ｖｏ^2／(３ｇｒ) 上の条件を満たすｈｏの最大値Ｈｏは Ｈｏ＝(ｒ/２)ｃｏｓαです。この時のＧを通過するときの速さは ｖｏ^2＝ｒｇｃｏｓα－２ｒｇ(１－ｃｏｓα) ＝３ｒｇｃｏｓα－２ｇｒ これをｃｏｓθの式に代入します。 ｃｏｓθ＝ｃｏｓα になります。 ｈｏ＜Ｈｏでは離れる位置がもっと低くなりますからＧＨの間では離れるということは起こらないのです。
お礼
丁寧な回答どうもありがとうございます。
- Quarks
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前半の問題に回答します。 軌道から離れる＝軌道面からの垂直抗力が０になる あるいは 軌道面からの垂直抗力＜０ なら 軌道面から離れている 垂直抗力は、面と接しているからこそ生じる力です。ですから、面から離れていれば垂直抗力が働かなくなることになります。 このことを利用して、面と接しているかどうかを判定するために、 面からの垂直抗力があるものと仮定して、その大きさを評価し、０以下なら面から離れていると判断します。 軌道から浮き上がる＝軌道面から離れる ということですから、垂直抗力が０になる点を探せば良いことになります。 Ａ～Ｆまでの区間で物体が軌道面から離れることはあり得ないので、離れるとしたら、Ｆを含めてそれより後のどこかだということになります。ではどこでしょうか？ Ｆから右側の軌道は円軌道ですから、軌道から離れないなら、円運動をすることになり、物体に作用している力の、Ｏ方向成分力は向心力の役割を担っていることになります。 「物体に作用している力の、Ｏ方向成分力」とは具体的にどのような力かといえば、 重力の、Ｏ方向分力－垂直抗力 です。 Ｆを通過した後、物体の速さは小さくなっていきますから、向心力(ｍ・v^2/r)もまた小さくなります。 重力の、Ｏ方向分力 は、Ｆで最も小さく、その後Ｇに近づくに従って大きなっていきます。 ｍｇ・cosθ ここでθは、物体の位置からＯを見た方向と鉛直下向きとのなす角度で、Ｆで最も大きく徐々に小さくなっていく角度です。 とうぜん、Ｆから進むに従って、垂直抗力は大きくなって行かざるをえません。 このことから、Ｆで離れていないなら、Ｇまでの区間で軌道から離れることはありえないということを意味しています。 ですから、題意に即した位置とはＦ点しかないということです。 そこで、Ｆにおける垂直抗力を０とすればよいことになります。このとき、 Ｆでの円運動の向心力 ＝重力の、Ｏ方向分力－垂直抗力＝重力の、Ｏ方向分力 なので ｍ・2ｇ・ｈ0/r＝ｍｇ・cosα が、求める条件ということになるでしょうか。 ただ、これには疑問が残ります。実は、物体がＧ点まで達することができれば、よく知られているように、その物体はＧＨの区間で必ず軌道から離れることができますから、ｈ0の最小値は、直線ＢＨとＧとの距離、となりそうです。 問題では、離れる区間がＦ～Ｇの間で、と但し書きがあるのでしょうか。
お礼
とてもわかりやすい説明ありがとうございます。 「問題では、離れる区間がＦ～Ｇの間で、と但し書きがあるのでしょうか。」 >書いてありませんでした。もし仮に離れる区間がF-Gの間と書いてあったらどうなるのでしょうか? 「Ｆにおける垂直抗力を０とすればよい」ということなんですが、Fでの垂直抗力が0になるという証明を式で表せたりということはできますか? もし可能であればお願いしたいのですが。
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