極限についてよろしくお願いします。

質問

「一般に　lim f(x)=f(a)　という主張は正しくない。
　　　　　　x→a
その各種の例を挙げよ。」
という問題が出たんですが、僕は機械工学科の人間なのでさっぱりわかりませ
ん。各種のってことは、いろいろなタイプの例があるようなんですが・・・。
教えてください。あと、これについて書いてある参考文献やホームページがあったらそれも一緒に教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

jaiwak

sinisa さんの回答のとおり、f(x) が x＝a で不連続ならば、lim f(x)≠f(a) です。
不連続は
１．点不連続　たとえば
　　　　　x^2－1
f(x)=－－－－－　　（数研出版「数lllの教科書」より）
　　 　　　 x－1

これは x=1 で関数が定義されていないので、f(1)と記述できませんが、約分してグラフをかいてみれば分かるとおり、
lim f(x)=2
x→1
です。また、

　 　┌　x ( x≠0 )
f(x)= ┤　　　　　　　　　 （筆者が高校生のときに類例を見た）
　　　 └　1 ( x＝0 )

では、x=0 で定義はされていても、その点で不連続です。

２．跳躍不連続　たとえば
　f(x)=[x]
　いたるところで不連続ですね。たとえば x=1 で、左の極限も右の極限も存在しますが、両者が異なるので
lim f(x) が存在しません。
　x→1
しかしf(1) は存在するのです。

３．無限大不連続　たとえば
f(x)=1/x, f(x)=tanx; f(x)=1/x^2

これは２．とどこが違うのかというと、左の極限と右の極限の少なくとも一方が∞または－∞になるという点です。発散するというタイプです。

上記の分類は「微分積分学教程」(森北出版 1988)　によりました。

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼を一番下に書きました。