極限についてよろしくお願いします。

質問

「一般に　lim f(x)=f(a)　という主張は正しくない。
　　　　　　x→a
その各種の例を挙げよ。」
という問題が出たんですが、僕は機械工学科の人間なのでさっぱりわかりませ
ん。各種のってことは、いろいろなタイプの例があるようなんですが・・・。
教えてください。あと、これについて書いてある参考文献やホームページがあったらそれも一緒に教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

taropoo · ベストアンサー

「lim f(x)=f(a)　はf(x)がaで連続である事の定義そのものです。
　x→a　　　　」
従って不連続点を持つようなf(x)の例を挙げよと言うのがこの問題の趣旨です。

f(x)が不連続になるような点の近傍でのその関数の挙動により次の４つのパターンなどに分類できます。（他にもあります。）

１．lim f(x), lim f(x)が共に存在するが、等しくない場合。
　　x→a+0　x→a-0
２．x→a±0のときf(x)は＋∞または－∞に発散する場合。
３．aの近傍で有界だが振動して一定の極限値を持たない場合。
４．振動しながら発散する場合。

１．の例としては
　　　　　　　　　　 ( 1 (x>0)
　　　　y = H(x) = {　　　　　　この関数をヘビサイド関数と言う。
　　　　　　　　　　 ( 0 (x≦0)

２．の例としては
　　　　　　 ( 1/x (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

３．の例としては
　　　　　　 ( sin(1/x) (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

４．の例としては
　　　　　　 ( (1/x)sin(1/x) (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

１．のような不連続点を第１種の不連続点、それ以外を第２種の不連続点と言います。

詳しくはサイエンス社発行、笠原晧司 著、「微分積分学」１章１．５をご参照下さい。

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼を一番下に書きました。