<2/25まで>物理II衝突によるエネルギーの変化

質問

高2物理IIの衝突による力学的エネルギーの変化についての問題です。

●なめらかな水平面上で静止している質量Mの小球Bに、速度vで進んできた質量mの小球Aが一直線上で衝突した。2球間の反発係数をeとするとき、2球の運動エネルギーの和は、衝突の前後でいくら変化するか。ただし、衝突後の小球Aの速度をv'、小球Bの速度をV'とする。

よろしければ詳しい解説もお願いします

ちなみに、今月の26日にテストがあるので明日の午後11:00までに回答していただけると幸いです。

最後にここまで読んでくださった皆様、ありがとうございます　_(._.)_

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

床面が滑らかで、運動は水平面上に限定されていますから、鉛直方向の力である垂直抗力や重力の影響は無視してかまいません。
衝突現象を扱う場合、頼りにすべきは、運動量保存則です。
運動量保存則は、作用反作用の法則の別表現だと考えて良いものです。本問のように、A,Bに働く力のうち、考慮すべき力が、互いに相手に及ぼす力つまり作用と反作用だけとして良い場合には、例外なく全体の運動量は保存されます＊。

Ａ，Ｂの運動する方向にｘ軸をとり、速度ｖの方向をｘ軸の正の方向にとってみます（速度にせよ運動量にせよ、ベクトルですから、方向に気を遣いましょう）。
衝突前の運動量は
　Ｂでは　Ｍ・０＝０
　Ａでは　ｍ・ｖ
衝突後、Ａが速度ｗ，Ｂが速度ｕになったとします。両者の運動量は
　Ｂでは　Ｍ・ｕ
　Ａでは　ｍ・ｗ
となります。運動量保存則より
　０＋ｍ・ｖ＝Ｍ・ｕ＋ｍ・ｗ　　式（ア）
これだけでは条件不足で解けませんが、反発係数が与えられていますから、それを使って、もう１つの方程式を作ることができます。

反発係数とは、一方から見た相手の速度(相対速度)の速さが、衝突の前後でどの程度変化するかを表した物理量です。
　反発係数＝衝突後の相対速度の大きさ/衝突前の相対速度の大きさ
が、元々の定義です。教科書では
　反発係数＝－(衝突後の相対速度/衝突前の相対速度)
と紹介されていますが、分子と分母とが逆向きなので、そのままの比では負の数になってしまうことになります。それで定義しても良かったのでしょうが、反発係数は正の数としたので、帳尻を合わせるために負号を付けたのでした。
ＢからＡを見ていたときの相対速度(＝相手の速度－見る側の速度)で考えてみます。
衝突前には
　Ａは速度ｖで運動するように見えます。　∵　ｖ－０＝ｖ
衝突後には
　Ａは速度ｗ－ｕで運動しているように見えます。
ところで、衝突前にはＡは近づき，衝突後Ａは離れて行くように見えるはずですから、ｖとｗ－ｕとは反対向きのはずです。これを速さで表現すれば、
　衝突前のＡの速さは　ｖ
　衝突後のＡの速さは　ｕ－ｗ
となるはずです※。
※速度の方向が正反対ですから、衝突前後で、速度ベクトルの向きつまり符号が反対です。
ですから速さ(速度の絶対値)は
　|ｖ|　と　|ｗ－ｕ|
となりますが、ｖの向きを正の向きと定めたのですから
　|ｖ|＝ｖ
　|ｗ－ｕ|＝－(ｗ－ｕ)＝ｕ－ｗ
としなければなりません。
∴ｅ＝(ｕ－ｗ)/ｖ　式（イ）

（ア）と（イ）を連立方程式として解けば、ｕ，ｗが求まります。
　ｕ＝(１＋ｅ)・(ｍ/(Ｍ＋ｍ))・ｖ　　（ウ）
　ｗ＝((ｍ－Ｍ・ｅ)/(Ｍ＋ｍ))・ｖ　　（エ）

求めるように指示されていたのは、運動エネルギーの変化ですが、速度が求まっていますから、単純な差額を計算するだけです。
衝突前の全体の運動エネルギーＫは
　Ｋ＝(1/2)・ｍ・ｖ^2＋(1/2)・Ｍ・０^2
　＝(1/2)・ｍ・ｖ^2
衝突後の運動エネルギーＫ' は、（ウ）,（エ）を使って
　Ｋ'＝(1/2)・ｍ・ｗ^2＋(1/2)・Ｍ・ｕ^2
　＝(1/2)・ｍ・ｖ^2・((ｍ＋Ｍ・ｅ^2)/(Ｍ＋ｍ))
∴運動エネルギーの変化は
　Ｋ－Ｋ'＝(1/2)・ｍ・ｖ^2・(Ｍ・(１－ｅ^2)/(Ｍ＋ｍ))
だけ減少した、となります。
もし、ｅ＝１なら　Ｋ'＝Ｋ＝(1/2)ｍ・ｖ^2　となり、力学的エネルギーが保存されることも確かめられます。
逆に、ｅ＝０のとき、損失量が最大になります。

＊　衝突で、両物体が接触していた間、互いに作用していた力の平均値がＦと－Ｆだったとします（作用反作用の関係にある２力ですから、当然その向きが正反対で、大きさが同じです）。
接触して時間をｔとします。
Ｆを受けていた方の物体は、力積　Ｆ・ｔ　を受けたのですから、その分運動量を変化させます。
一方、－Ｆを受けていた方の物体は、力積　－Ｆ・ｔ　を受けたのですから、その分運動量を変化させます。
両者の運動量の変化の総和は
　Ｆ・ｔ＋(－Ｆ・ｔ)＝０
ですから、個々の物体の運動量は変化しても、全体では互いに打ち消し合い、運動量の総和は変化していないことになります。
蛇足ですが、力を平均値ではなく、時々刻々変化しているものとしても、同じ議論が可能です。或る瞬間に作用していた力が　ｆ　と　－ｆ　その力が作用していた時間を　Δｔ　とすると、やはりこのΔｔの間に受けた力積の合計は０ですから、Δｔ　の時間では、運動量の総和は変わりません。続くΔｔでは…と考えれば、力の大きさと向きがどんなに変化しようとも、それが作用反作用の関係にあるなら、力積の総和はやはり０になってしまうことは明らかです。

お礼

詳しい説明をありがとうございます。

明日のテストで満点取れるようにがんばります！

回答No.2

noname#182106

「衝突後の小球Aの速度をv'、小球Bの速度をV'とする」
これを使って表すならば

(mv'^2)/2+(MV'^2)/2-(mv^2)/2

v'とV'をちゃんと求めなければいけないならば

mv=mv'+MV'（運動量保存則）
(V'-v')/(v-0)=e（反発係数の定義）

を連立方程式として解いて上式に代入します。

お礼

回答ありがとうございます。