方程式の問題なのですが・・・

質問

ｘの方程式　cos＾２ｘ＋２ｋsinx＋１＝０　（０≦ｘ≦π）がある。
これが解を持つようなｋの値の範囲を求めよ。

判別式を使って求めようとしたのですが、　ｋ＾２＋２≧０　となってしまい、
どうやってｋの範囲を出せばよいのか困っています。
簡単だと思いますが、教えてください。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

sinx=t

とおくと

0≦x≦π⇔0≦t≦1

であり，方程式は

1-t^2+2kt+1=0

t^2-2kt-2=0

となります．この方程式が0≦t≦1に解をもつ条件は，関数

f(t)=t^2-2kt-2=(t-k)^2-k^2-2(0≦t≦1)

のグラフがｔ軸と共有点をもてばよいです．

(1)k<0のときf(t)(0≦t≦1)は単調増加し，

最小値：f(0)=-2<0
最大値：f(1)=-2k-1>0

であるから

k<-1/2

(2)0≦k≦1のとき

最大値：f(0)=-2<0またはf(1)=-2k-1<0

なのでこのときは常にf(t)<0(0≦t≦1)

(3)k>1のときf(t)(0≦t≦1)は単調減少し，

最大値：f(0)=-2<0

なのでこのときは常にf(t)<0(0≦t≦1)

(1)，(2)，(3)よりk<-1/2

お礼

自分の間違っているところが分かりました！
分かりやすく教えて下さってありがとうございました。

回答No.3

alice_44

0 ≦ x ≦ π という制限がついているので、0 ≦ sin x ≦ 1 です。
二次方程式 (1-ss)+2ks+1 = 0 を解いて、s = k±√(kk+2).
これのどちらかが 0 ≦ s ≦ 1 の範囲にあればいいのです。
k-√(kk+2) ＜ 0 ＜ k+√(kk+2) は常に成り立つので、結局、
k+√(kk+2) ≦ 1 を満たす k を求めればよいことになります。
√(kk+2) ≦ 1-k と移項して、両辺を２乗するときに、
1-k ≧ 0 という条件がつきますから、
kk+2 ≦ (1-k)2乗 かつ 1-k ≧ 0 を解いて、答えは k ≦ -1/2.

回答No.2

alice_44

kk+2≧0 は、任意の実数 k が満たします。
考慮すべきは、判別式ではなく、
二次方程式の解が sin x の値域に
含まれるかどうかです。