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お礼率 72% (13/18)

答えが合わなくて困っているのですが、

「質量mの質店が滑らかな放物線 x・x=2ay (xは水平右を、yは鉛直下向を正)
で与えられる細い滑らかな管の中に束縛されていて、最高点からV0の速さで
運動をはじめる。任意の位置(X,Y)での束縛力を求めよ」

という問題で、任意の点の法線を求めると、y軸との切片は(a+y)になり、
法線方向の運動方程式を立てるため、曲率半径ρをρの二乗を、

    ρ・ρ=x・x+a・a

として、

    m・(V・V/ρ)=(m・g・a)/ρ+R

と立てました。(※a/ρ=sinθ、R=束縛力)

あとは力学的保存則を用い、Rを求めたのですが、答えが合いません。
私の考え方にミスがあると思います。

誰か混乱した私にアドバイスをお願いします。

因みに正解は、

  {mg(a・a)(a-V0・V0/g)}/(a・a+2ay)[3/2]

 ※[3/2] は、’3/2乗’の意
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回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

曲率半径ρが違っていますね. aのb乗を a^b と書くことにして (1)  ρ^2 = (a^2 + x^2)^3 / a^4 です. 曲率半径の公式は (2)  ρ = {1 + (y')^2 }^(3/2) / |y''| です.y' = dy/dx, y'' = d^2 y /dx^2. 半径ρの円上の近接した2点P,P ...続きを読む
曲率半径ρが違っていますね.
aのb乗を a^b と書くことにして
(1)  ρ^2 = (a^2 + x^2)^3 / a^4
です.
曲率半径の公式は
(2)  ρ = {1 + (y')^2 }^(3/2) / |y''|
です.y' = dy/dx, y'' = d^2 y /dx^2.

半径ρの円上の近接した2点P,P'で接線を引き,それらがx軸の正の方向となす角を
θ,θ+Δθとしますと,Δθが弧PP'に対する中心角になります.
すなわち
(3)  ρ = (弧PP'の長さ) / Δθ
これの一般化が曲率半径です.
(4)  (弧PP'の長さ) ⇒ √{(dx)^2 + (dy)^2} = dx √{1 + (y')^2}
(5)  tan θ = y'(x)
(6)  tan (θ+Δθ) = y'(x+dx)
で,(5)(6)から
(7)  Δθ = arctan{y'(x+dx)} - arctan{y'(x)}
      = y'' / {1 + (y')^2} dx
です.
(3)(4)(7)を整理して(2)になります.
絶対値がついているのは,下に凸と上に凸の場合を調整したものです.
補足コメント
darah

お礼率 72% (13/18)

回答ありがとうございます。
ところで(4)までは理解しました。
(5)の y'(x+dx)
が何を表しているのかがちょっと分かりませんでした。
お手数ですが、できればそこの補足をお願いいたします。
投稿日時 - 2001-05-22 06:01:01


  • 回答No.2
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

siegmund です. y'(x) = dy(x)/dx で,この y'(x) の x のところに x+dx を代入したのが y'(x+dx) です. x 座標が x の時の接線の傾きが y'(x), x 座標が x+dx なら接線の傾きは y'(x+dx) です. ...続きを読む
siegmund です.

y'(x) = dy(x)/dx で,この y'(x) の x のところに x+dx を代入したのが
y'(x+dx) です.
x 座標が x の時の接線の傾きが y'(x),
x 座標が x+dx なら接線の傾きは y'(x+dx) です.
お礼コメント
darah

お礼率 72% (13/18)

分かりました。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-05-23 03:31:53
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