滑らかな球面の上で物体が離れる位置を求める問題の解法について
- 滑らかな球面の上で物体を初速度V0で滑らせると、物体はどこで球面を離れるかという問題について、解法には誤りがあります。
- 質点が球面から受ける垂直抗力をRとし、運動方程式を立てると、m・(V・V/ｒ)＝－ｍｇ・cosθ＋Rとなりますが、この式に問題があります。
- 力学的保存則を考慮すると、V・V＝(V0・V0)＋２・ｇ・ｒ・(１－cosθ）という式を用いる必要がありますが、この式を用いなかったために、結果が正しくないのです。
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分かる人には極簡単な問題です。
分かる人には至極簡単な問題だと思います。 「滑らかな球面の頂上に物体をのせ、初速度V0で物体を滑らせるとき、 物体はどこで球面を離れるか？」 という問題です。 球面から質点が受ける垂直抗力をRとおき、ここで法線方向の運動方程式を 球面の中心から外へ向く方向を正とおいて、 ｍ・(V・V/ｒ)＝－ｍｇ・cosθ＋R と書きました。（※Vの二乗が書けず、V・Vと書きました。 以下・は×<かける>の意） しかし、力学的保存則より、 V・V＝(V0・V0)＋２・ｇ・ｒ・(１－cosθ） を入れると、答えである、 H＝（２／３)ｒ＋V・V／３ｇ になりません。 なぜか教えてください。
- darah
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- 物理学
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質問者が選んだベストアンサー
遠心力というのは自分が円運動している物体上にいるという 立場で考えたときの慣性力（見かけの力）のことです。 したがって、加速度がわからないという立場なので 実在の二つの力（今は重力と垂直効力）に遠心力（見かけの力）を加えた ３つの力のつりあいの式（打ち消しあって０）を立てることになります。 球面の中心から外へ向く方向を正とおくと ｍ・(V^2/ｒ)＋Ｒ－ｍｇ・cosθ＝０ ということになります。 考え方の違いなので同じ式が出てきます。 （そうでないとおかしいですよね。）
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- guiter
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運動方程式は Dirac さんの仰るように、中心から外向きを正とするなら －ｍ・(V^2/ｒ)＝－ｍｇ・cosθ＋R となります。 エネルギー保存則も darah さんが書いておられるように V^2＝(V0)^2＋２ｇｒ(１－cosθ） でいいですよ。 この２式と後は「離れる」という条件で cosθ の値が出てきます。 それを Ｈ＝ｒcosθ に代入するとちゃんと出ましたよ。
補足
補足させてください。 私は向心力とはおかず、遠心力と考えて式を立てました。 遠心力と考えるとなぜおかしくなるのですか？
- Dirac
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運動方程式の立て方が間違っているような気がします。 球面外向きの法線方向を正とするならば運動方程式は ーｍ(VV/r)=ーmgcosθ＋R です。(向心加速度は法線方向と逆向きだから） 球面(半径ｒ）の中心をとおる水平面から見た 物体が離れる位置を H とおくと 力学的エネルギー保存則は （V0V0)m/2+mgr＝(VV)m/2+mgH となります。cosθ=H/rなので 上の２式よりVVを消去すればH＝V0V0/3g+2r/3 がでてきます。 球の中心をとおる水平面から見た高さ V0V0/3g+2r/3 の位置で 物体は球面から離れると言うことになります。 床からの高さなら上記の位置にｒを加えた値になります。
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