Star bodyとray propertyの定義

質問

ttp://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Star_body

でstar bodyの定義を発見したのですがここでのOはO∈R^nという解釈で宜しいでしょうか?
でもその際,区間[O,α)の意味が分かりません。どうしてR^n内で区間という概念が使えるのでしょうか?

rayとは半直線の事かと思いますがではray propertyとは一体なんのでしょうか?

「R^n⊃Sがstar bodyである ⇔ ??」
では何と書けますでしょうか? 出来れば簡潔な定義を教えていただけましたら幸いでございます。

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

（１）　「aは境界点でなければなりませんよね。」

a は、内点でもかまいません。

（２）　「もしaを任意のcl(S)の元としたらa∈Int(S)…(**)を採った場合,(oa)＼{a}⊂Sと成るはずですがこれは明らかに(**)に反してますよね。」

(oa)＼{a}⊂S というのは、「 a を除く部分が S に含まれる」と言っているに過ぎません。つまり、 a が S に含まれても含まれなくてもどっちでも良いので、 a∈Int(S) との矛盾はないと思います。

（３）　「star bodyの定義を見つけました。」

もともとのご質問のテキストにあった定義をSB1、今回紹介された「Convex bodies: The brunn-minkowski theory by Rpf Schneider」の定義をSB2とします。次の２点で違っています。

○　SB1では開集合とされているが、SB2ではコンパクト集合とされている。
○　SB2では、 radical function が正値かつ連続である、との条件が付加されている。

なお、 SB2 では、star body が内点を持つ、と明示されていません。しかし、当然、SB2でも内点を持ちます。なぜなら、radical function は、コンパクト集合S^(n-1) （ n-1 次元球面）で定義された正値連続関数なので、正の最小値を持ちます。よって、原点からその最小値より近い範囲が star body に含まれるので、原点が内点になります。

（３）　「但し,冒頭の"K∈"の直右の記号はthe subset of cnvex bodies with interior pointsと書いてあります」

この冒頭のKは、後のstar body の定義に使われる K と別物と考えられます。したがって、 star body が convex body with interior points である必然性はないと考えるべきでしょう。

（ちなみに、 convex bodies に with interior points の修飾語は不要では？）

（４）　「３通りのstar bodyの定義（http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/question1.pdf）」

このPDFに出ている３つのDef22 のうち、２番目と３番目の２つがstar body の定義になっているようです。しかし、３番目の（i）の条件は、「star body ⇒ convex body 」を意味することになり、妙です。上の（３）に関連する誤解があったのでしょうか。

（５）　「どれを採用したら守備範囲が広がるのでしょうか?」

分かりません。専門家ならもっと明快な回答ができるかもしれませんが・・・。

ただ、star body にSB2 の 定義を採用し、 convex body に ANo.2の (C) の定義を採用すれば、「 convex body ⇒ star body 」が言えます。なお、SB2のテキストの前の方を探せば　convex body の定義が載っている予感がします。

あと、印象です。 SB2 のテキストは、しっかり記述されているように見えます。対して、SB1のテキストには、首を傾げたくなる記述が散見されます（ANo.1の蛇足で述べた部分やANo.2の最後で述べた部分など）。思うに、SB1のテキストは、 SB2 や (C) で課せられた「有界」の制限を取り払って守備範囲を広くしようとしているようにも見えます。しかし、詰めが甘い感じです。

回答No.2

ramayana

（１）　定義アは、正しいと思います。

ただ、「 star convex set ⇒ convex set 」の部分は、 「 convex set ⇒ star convex set 」の誤植でしょうね。

（２）　定義イは、「 ∃a 」を「 ∀a 」に修正すれば、正しくなると思います。

（３）　定義ウについて

「 star (convex) body 」とは、 star body の意味でしょうか？　もしそうなら、正しいと思います。

（４）　star body、 star convex set、 convex set の関係

一般に、「 star body ⇒ star convex set 」と、「 convex set ⇒ star convex set 」が成立しますが、両方とも、逆は成立しません。

star convex set であってstar body でない例として、次のような S があります。

S = { (x, y) ∈ R^2 | x = 0 or y = 0 }
（交差する２本の直線）

直感的に、star が付けば、「どこか凹んだところがあってもよい」ということなので、概念の範囲が広くなります。反対に、body が付けば、「膨らみがある（内点がある）」ということなので、概念の範囲が狭くなります。

（５）　「convex bodyとはconvex setの3次元版,4次元版,5次元版,…の事だと思います。」「star (convex) bodyとはstar convex setの3次元版,4次元版,5次元版,…とも推測し」について

body が付くと次元が高くなるというものではありません。３次元ユークリッド空間内であれば、ラグビーボール型（表面を含む）は convex body になります。２次元ユークリッド空間内なら、楕円の内部（縁を含む。ラケット型。）は convex body になります。１次元ユークリッド空間内なら、線分（両端を含む）は convex body になります。（ convex body の定義については、後出の（６）を参照。）

また、３次元ユークリッド空間内なら、金平糖型（表面を含まない）は star body になります。２次元ユークリッド空間内なら、星型（縁を含まない）は star body になります。

（６）　「 "A particular case of a star body is a convex body."という記述からconvex body ⇒ star (convex) bodyと（略）アベコベ関係になるのが妙な気分」になることについて

「star が付けば概念の範囲が広くなる」という直感からすれば、それほど妙ではなさそうです。

ただ、この記述が正しいかというと、疑問が沸きます。このテキストのconvex body にハイパリンクが設定されていて、それを辿ると、次のような convex body の定義があります。

(A) "A closed (finite or infinite) convex set in a Euclidean or in another topological vector space, having interior points"

この定義によれば、 convex body は閉集合だとされているものの、開集合である必要はありません。よって、「 convex body ⇒ star body 」は、間違いです。

ネットで検索すると、別の定義もありました。

(B)　"A convex set that has at least one interior point." （http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Convex+body）

この定義でも、開集合である必要はありません。

(C)　"a convex body in n-dimensional Euclidean space Rn is a compact convex set with non-empty interior." （http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_body）

この定義だと、コンパクトという条件が付いているので、開集合は除外されます。

つまり、 (A)、 (B)、 (C) と３種類の定義が見つかりましたが、どの定義を採用しても、「 convex body ⇒ star body 」は、間違いです。

で、上の "A particular case of a star body is a convex body." が間違いかというと、微妙ですね。主語と述語がひっくり返って " A convex body is a particular case of a star body." なら、間違いと言い切れるのですが・・・。英語のニュアンスで、元の記述では、「star body の特別なケースは convex body になる」という意味にも取れるからです。これだと、必ずしも「 convex body ⇒ star body 」を意味しません。すると、上の (A) か (B) の定義を採用する限り、間違いにはなりません。ただ、紛らわしい表現なので、数学の記述としてはどうでしょうか。

お礼

詳細なご回答誠に有難うございます。

> （１）　定義アは、正しいと思います。
> ただ、「 star convex set ⇒ convex set 」の部分は、 「 convex set ⇒ star
> convex set 」の誤植でしょうね。

納得です。

> （２）　定義イは、「 ∃a 」を「 ∀a 」に修正すれば、正しくなると思います。

つまり,
[定義イ] Let R^n⊃S be open. Then S has the ray property with o∈S
⇔ for∀a∈cl(S), (oa)＼{a}⊂S (但し,(oa)は線分を,cl(S)はSの閉包を表す)

で宜しいのでしょうか?
でもこの場合,aは境界点でなければなりませんよね。

その場合,
[定義ウ] R^n⊃Sは開集合とする時, Sはstar (convex) body ⇔ ∃o∈S; Sはoに関してray properyを持つ。

と照らし合わせて考えてみると,ここでのSはbodyだから膨らみがあるのですよね。
つまり,Int(S)≠φ(つまり,内核は空でない),でもSはoに関してray propertyを持つのだから,
もしaを任意のcl(S)の元としたら
a∈Int(S)…(**)を採った場合,(oa)＼{a}⊂Sと成るはずですがこれは明らかに(**)に反してますよね。
何処か勘違いしておりますでしょうか?

> （３）　定義ウについて
> 「 star (convex) body 」とは、 star body の意味でしょうか？

はい, 何処かのサイトで "star (convex) body"と記載されてるのを見かけたもので厳密にはstar convex bodyと呼ぶのかなぁと思いました。

>もしそうなら、正しいと思います。

有難うございます。

> （４）　star body、 star convex set、 convex set の関係
> 一般に、「 star body ⇒ star convex set 」と、「 convex set ⇒ star convex
> set 」が成立しますが、両方とも、逆は成立しません。
> star convex set であってstar body でない例として、次のような S があります。
> S = { (x, y) ∈ R^2 | x = 0 or y = 0 }
> （交差する２本の直線）

これは納得でございます。

> 直感的に、star が付けば、「どこか凹んだところがあってもよい」ということなので、
> 概念の範囲が広くなります。反対に、body が付けば、「膨らみがある
> （内点がある）」ということなので、概念の範囲が狭くなります。

了解です。

> （５）　「convex bodyとはconvex setの3次元版,4次元版,5次元版,…の事だと思います。」
> 「star (convex) bodyとはstar convex setの3次元版,4次元版,5次元版,…とも推測し」について
> body が付くと次元が高くなるというものではありません。３次元ユークリッド空間内
> であれば、ラグビーボール型（表面を含む）は convex body になります。
> ２次元ユークリッド空間内なら、楕円の内部（縁を含む。ラケット型。）は
> convex body になります。１次元ユークリッド空間内なら、
> 線分（両端を含む）は convex body になります。（ convex body の定義につい
> ては、後出の（６）を参照。）

3次元に浮かぶラケット型は立体としてみればconvex setとしか見れませんが,
平面図形としてみればconvex bodyとなりますね。

> また、３次元ユークリッド空間内なら、金平糖型（表面を含まない）は star body
> になります。２次元ユークリッド空間内なら、星型（縁を含まない）は star body
> になります。

star bodyは開集合としてあるのですね。

> （６）　「 "A particular case of a star body is a convex body."という記述から
> convex body ⇒ star (convex) bodyと（略）アベコベ関係になるのが妙な気分」に
> なることについて
> この定義によれば、 convex body は閉集合だとされているものの、開集合である
> 必要はありません。

「Convex bodies: The brunn-minkowski theory by Rpf Schneider」という文献
ttp://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/100_1067.jpg
にて左上辺りにstar bodyの定義を見つけました。
これは開集合や閉集合ではなくcompact集合で仮定してあるようです。
(但し,冒頭の"K∈"の直右の記号はthe subset of cnvex bodies with interior pointsと書いてあります. 9行目のoはoriginの意味のようです)

> よって、「 convex body ⇒ star body 」は、間違いです。

了解です。

> ネットで検索すると、別の定義もありました。
> (B)　"A convex set that has at least one interior point."
> （http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Conve …）
> この定義でも、開集合である必要はありません。
> (C)　"a convex body in n-dimensional Euclidean space Rn is a compact convex
> set with non-empty interior." （http://en.wikipedia.org/wiki/Convex_body）
> この定義だと、コンパクトという条件が付いているので、開集合は除外されます。
> つまり、 (A)、 (B)、 (C) と３種類の定義が見つかりましたが、どの定義を採用しても、
> 「 convex body ⇒ star body 」は、間違いです。

以上から
ttp://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/question1.pdf
という具合に2通りのconvex bodyの定義と3通りのstar bodyの定義が出来上がったのですが
どれを採用したら守備範囲が広がるのでしょうか?

> で、上の "A particular case of a star body is a convex body." が間違いかというと、
> 微妙紛らわしい表現なので、数学の記述としてはどうでしょうか。

これはなるほど同意でございます。

補足

再度投稿させていただきます。

ttp://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/def_star_body__00.jpg

と訂正致しました。
これが一般的な定義かなと思います。これを見ると"star"と"body"はそんなの難しい概念ではないようですね。

結局,ray propertyは使わなかったのですが大丈夫でしょうか?

回答No.1

ramayana

（１）　OはO∈R^nという解釈で宜しいでしょうか?

正しいと思います。

（１）　区間[O,α)の意味

このテキストでは、「O と α を結ぶ線分であって、両端のうちO を含むけど α を含まないもの」という意味で、使っているようです。これが一般によく使われる記法かどうかは、知りません。

（２）　ray propertyとは

「If α∈ Sbar, where Sbar is the closure of S, then the entire segment [O, α) lies in S」

を満たすような性質である、と説明されています。日本語では、

「S の閉包内の任意の点αとOを結ぶ線分（Oを含みαを含まない）がSに含まれる」

ということでしょうか。

（３）　R^n⊃Sがstar bodyである ⇔ ??

??の部分は、「ray propertyを持つ開集合」ということだと思います。

なお、テキストで、star body は、star set（star convex set の表現の方が一般的か）の特殊例とされています。このテキストにもstar setの説明がありますが、ネットなどでstar convex set の意味を勉強した上で、「star convex set であってstar body でない例」を想像してみると、理解が深まるかもしれません。

(蛇足）

このテキストに、

「A star body S with centre O may be characterized as follows: O is an interior point of S; every ray emanating from O lies either entirely in S or contains a point α such that the ray segment [O, α)　 lies in S, but the ray segment (α, +∞) lies outside S. 」

と書かれていて、これが上の star body の定義と同値であると書かれています。この部分については、本当かな？という感じがします。

お礼

ご回答誠に有難うございます。
お蔭様でとても参考になります。

[定義ア] R^n⊃Kがstar convex set ⇔ ∃x_0∈K;for∀x∈K, segments (x_0x)⊂K.
例: 星型の図形はstar convex setですがconvex setでない事は明らかですね。
※star convex set⇒convex set …(*)は成立ちますが一般に逆は成立たないのですね。

[定義イ] R^n⊃Sは開集合とする時, Sは(S∋)oに関してray propertyを持つ ⇔ ∃a∈cl(S);(oa)＼{a}⊂S (つまり,線分oaから点aを除いたものがSに含まれる)

[定義ウ] R^n⊃Sは開集合とする時, Sはstar (convex) body ⇔ ∃o∈S; Sはoに関してray properyを持つ。

で宜しいでしょうか(特に[定義ウ])?

あと,
convex bodyとはconvex setの3次元版,4次元版,5次元版,…の事だと思います。
例としては楕球(ラグビーボール型)が挙げられると思います。
何故なら楕球の球面や内部に任意に採った2点の線分は必ずこの楕球に含まれるから。

ちょっと解せないのが
定義アとconvex bodyの定義からstar (convex) bodyとはstar convex setの3次元版,4次元版,5次元版,…とも推測し
star (convex) body ⇒ star convex set (但し,一般には逆は成立たない),
という関係なら自然かなぁと思ったのですが

"A particular case of a star body is a convex body."

という記述からconvex body ⇒ star (convex) body
という風に(*)とはアベコベ関係になるのが妙な気分なのですが。。

如何でしょうか?