ある形式で与えられる空間中の２直線間の距離・中点を求めたいのですが

質問

「空間中の２直線間に、共通垂線を一本引いて、垂線が各直線に対して持つ二つの足の間の距離(---1)と、二つの足の間の中点の位置(---2)」を、求めたいのですが、どのようにするのでしょうか.　

直線は、"平面xy座標上の一点aを通り、かつ、方位角bと仰角cとで定まる方向"という形式で与えられるのです.

最終目標としては、空間中にいろいろと与えられる二直線について、冒頭の「」を求めるプログラムを書きたいのです.

また、冒頭の「」内のことは、捩れの位置で始めて成立するわけですが、交わるのか捩れの位置なのかを、プログラムでもって、簡単に識別する方法ってあるのでしょうか?

このあたりの領域に詳しい方、どうぞ教えてください.

回答No.1

hogehogeninja · ベストアンサー

ベクトルを考えると考えやすいです。

まず、２直線をA,Bとし、それぞれの単位方向ベクトルをa^b^します。
（方位角と仰角からすぐにだせます）

また、xy座標平面上で、直線Aの交点 Aa から直線Bの交点 Ba に引いたベクトルをc_ 置きます。（ちょっと分かりにくいですが、x^ は単位ベクトル、x_ はベクトルを表すとします）
また垂線に平行な単位ベクトルをn^ と置き、２直線の距離（足の間の距離）をd と置きます。

すると
　n^⊥x^, n^⊥y^　　（１）
n^ = x^ × y^ （外積）　（２）
としよてく、また、α、βを直線A,B上で足の位置を表すパラメータとして
α x^ + d n^ = c_ + β y^　（３）
が成立します。この式の両辺似たいしてn^ との内積をとり、（１）とn^ の大きさは１であることに注意すると求める距離d は
　d = c_・n~　
と簡単に求まります。

また、（３）式からx^ と内積をとった式、y^ と内積をとった式、を作るなどしてαを求めます。

直線A のxy平面上の点Aa に引いた位置ベクトルをe_ で表せば、中点の位置は
　e_ + α x^ + (d / 2) n^
で表されます。

このやり方で求めたとき、交わるときには
　d = 0
を与え、特別にチェックする必要は無いです。
むしろ特別な配慮が必要なのは２直線の平行度で、平行な時には上の量は本当に数学的にも定義できなくなります。
平行に近いとき（厳密に平行でなくても）、プログラム上では非常に誤差が大きくなりますので、適当に誤差を見積もり、評価してやる必要があります。
（x^ と y^ の内積をとって平行度を調べるなどして）

お礼

ありがとうございます.最初はわからなかったのですが、解ったらすごく簡単に書けることに驚きました.以下のように、自分なりに、まとめてみたのですが、あっているでしょうか.
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直線Aとxy平面との交点 a_=(ax, ay, az)
直線Aの方位角 θa
直線Aの仰角 φa

直線Bとxy平面との交点 b_=(bx, by, bz)
直線Bの方位角 θb
直線Bの仰角 φb

とすると、上記の値だけを使って、以下の左辺の値は、右辺のように書くことができる.

直線Aの単位ベクトル a^=(cos(θa)cos(φa), sin(θa)cos(φa), sin(φa))
直線Bの単位ベクトル b^=(cos(θb)cos(φb), sin(θb)cos(φb), sin(φb))

共通垂線の単位ベクトル n^=a^×b^

共通垂線の足間距離　d= (b_-a_)・(a^×b^)
[=即ち直線間距離]　　= (b_-a_)・n^

共通垂線足間中点位置　m_=a_ + α a^ + (d/2) n^
[即ち直線間中点]　　　　=a_ + α a^ + (1/2){(b_-a_)・(a^xb^)}・(a^×b^)

但し α=[{a^・(b_-a_)}-{b^・(b_-a_)*(a^・b^)}]/{1-(a^・b^)(a^・b^)} (但しa^・b^=1でない時)
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