小数の10進法→n進法への変換について

質問

例えば
0.304という10進法の数を5進法に変える時に
5をかけて1の位に出てきたものを並べて5進法の小数に変えますが

自分の使ってる参考書に
0.●●●の0の部分は10進法からn進法に変える時にそのままでいいというように
書かれているのですが
10進法で0.●●●という数でもn進法では1.◎◎◎というようになったりする事はあり得ないのですか？
出来ればその理由も教えてほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.6

bgm38489

一言で言えば、1は同じだから。
十進法だろうが、何進法だろうが、１は同じだから、1より小さいものは、何進法でも1以下になります。

回答No.5

noname#175206

循環小数0.999…＝1なんてありますね。0.999…＝0.333…×3＝1/3×3＝1なんて説明されたりします。

　0.999…を別の書き方で言うと、1/10＋1/10^2＋1/10^3＋…という無限数列の和です。これは、無限数列の和の計算により極限値1になります。もし無限回の操作を許せば1に等しく、その表記が循環小数0.999…です。そのため、0.999…は1の別表記であると言われたりします。

　2進数で、0.111…と書いても、1/2＋1/2^2＋1/2^3＋…という無限数列の和になり、これも1になります。

　16進数でも同じで、0.FFF…＝1です。何進数であっても、1になります。

　1は何進数であっても1です。上記から分かると思いますが、何進数であっても、1未満の数（0.999…等の1の異表記を除くことに注意）はいくらでも1に近い数がありますが、0.abc…という表記になり、1にはなりません。

　そのため、10進数で1未満の小数を何進数に書き換えても1.xyz…のようにはなりません。

回答No.4

bsjack

10進数で0.●●●はn進数で1.◎◎◎にはなりません。
逆を考えるとわかるのではないでしょうか。
m=n-1として
n進数0.mmmmmm…を10進数に直してみると
限りなく1に近く、1よりも小さい数になります。
10進数で1よりも小さい少数をn進数に直しても、1を超えることはありません。

例えば、
0.304という10進数を2進数で表すとき、
2進数における少数点以下は
　第一位　0.5
　第二位　0.25
　第三位　0.125
　第四位　0.0625
という要素で構成されています。
これを足し合わせて0.304になる要素のところに1,それ以外に0を付けるので
0.304(10進) = 0.0100110… となります。
(0.25+0.03125+0.015625+…≒0.304)

ここで逆に2進数を10進数にすることを考えます。
2進数0.111111…を10進数にすると
0.9999999…となり、限りなく1に近く、1よりも小さい数になります。

このことから、10進数で1よりも小さい少数をn進数で表すと
1を超えることはないことがわかると思います。

回答No.3

tsuyoshi2004

ありえませんね。

仮にｎ進法で数字の並びが、0.xyz
だとします。
数式で表すとx/n+y/n^2+z/n^3です。
これが最大になるのは、x=y=z=n-1の場合です。
（１０進法なら0.999が最大ですよね？）

(n-1)/n+(n-1)/n^2+(n-1)/n^3
=(n^2(n-1)+n(n-1)+(n-1))/n^3
=(n^3-1)/n^3
当然ながら、n^3-1<n^3
なので、
(n^3-1)/n^3<1
です。
よって、
x/n+y/n^2+z/n^3<1

回答No.2

ok-kaneto

ありえないです。

>10進法で0.●●●
は必ず１より小さいですよね。とするとn進法でも1より小さいです。
すると整数部分に1が出る事はないです。

例えば0.9を2進数で表すと
0.111001・・・・

9進数で表したとしても
0.8・・・・

となります。

n進数の小数点第一位の基数が(1/n)なので、整数部に1が出るためには(1/n)*(その桁の数)が1を超える必要があります。ということは(その桁の数)がnを超える必要がありますが、n進数なのでそれはないですよね。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

10進法でも2進法でも、1以下のものは1以下のままです。