テンソル解析のテキストについて

質問

テンソル解析のテキストを読むと必ず、テンソルの成分の変換の話が出てきます。

成分の変換とは、すなわち、空間を張っている基底ベクトルが回転などして変わった場合、その表現がどのように変化するかということです。つまりリファレンスフレームを変更したらどのように表示されるかということですよね。

スカラー、ベクトル、テンソルは基底ベクトルの変換に応じてどのようにその値・成分が変化するかであらためてそれらの定義もなされるということかと思います。

テキストのかなりの部分がそのことに費やされるので不思議に思ってきました。
テンソル解析はどうして変換につよくこだわるのでしょうか。例えば、曲がっている空間を扱うためにどうしても基底の移動（平行移動と回転の合成、回転が本質）ということなのかなと思いますが。

と言っても導入部の取扱での話しであり、他分野への応用になってくると別の話しになるとは思いますが、変換を理解することがどのように効いていくるのか展望を知りたいと思いました。

よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

私はテンソル解析を相対論を勉強するときに学びました．数学的にはあまりやっていませんが，その経験から回答にならないかもしれませんが，少しだけ．

変換にこだわるのは，変換というものがある種の不変性において定義されるものだからだと思います．不変な量というのは非常に重要だと思います．

例えば，空間における長さというのは不変な量です．長さを不変にする変換とは何かと突き詰めると，平行移動や回転移動など限られた変換になるわけです．その変換と同じようにするものとしてベクトルやテンソルが定義される．物理法則はこのテンソルを使って書かれることによって任意の座標系で同じ形になるのです．どのような座標系でみようとも一つの物理現象は一つの物理現象，それを支配する法則はどのような座標系でみようと同じ形でなければならない．まさにこの要求に合致するわけです．

Newtonの運動方程式，Maxell方程式，Einstein方程式など物理現象を説明する物理法則はすべてベクトル，テンソルの方程式で書けます．

お礼

回答ありがとうございます。
　現象を記述する式が座標系の選択に依存しないとしたら、特定の座標系で考える場合は、物事を演繹的（一般から特殊へ）に考えればいいので概念的な意味が明確になるように思います。
　実際に必要になるのはやはりベクトルというより、特定の座標系でのベクトルの成分ということになるので、成分の変換式（すなわち座標変換）が一般的に与えられることが座標系によらないベクトルでの式の表示に通じるかと思います。（変換式が一般的に与えられたということは要するに変換可能になったのだから）

　座標系に拠らない式の記述というところは、本当に厳密に座標系に拠らないのでしょうか。クリストッフェル記号なども成分を考えるから出てくるのかも知れないと思ったりします。
　形式が座標系に拠らないのではなく、内容が座標系に拠らない、例えば、保存則というような考え方は形式というより内容が座標系に拠らないということかと思いますが。どう考えるのでしょうか。

少し、話がはずれるのですが、座標系に依存しない式について別途、解けない疑問もありまして、実際物理を学ぶとき、一般座標ではなく、カルテシアン座標系になるわけで、最も特殊な座標系（互いに直交し、空間的に一定）を使うわけです。特殊な座標系で知り得た事実を一般化するには演繹ではだめで、実験的、帰納的なアプローチになると思います。特殊な状況で得た知識を演繹的に一般化することができないので。その辺でなんとなく見通しが悪くなる感じがします。