数学IA 二次関数

質問

「画像のような、直角三角形ABCの各辺上に頂点を持つ長方形ADEFを作る。
長方形の面積が12m^2以上になるときの長方形ADEFの周の長さを求めよ」

という問題です。
参考書はAFをxとしているのですが、自分はADをxとして

AD＝xとすると、0<x<9
BD=9-x
△ABC∽△BDEより
ED=2/3*(9-x)
x*2/3(9-x)≧12
(x-3)(x-6)≦0
3≦x≦6

ここからの部分です。
解答は
周の長さは2{x+2*(9-x)/3}=2/3*(18+x)
3≦x≦6より
14≦2/3*(18+x)≦16

としています。この解答は理解できます。
自分の解き方は
3≦x≦6よりED=2/3(9-x)の範囲を求めて
2≦2/3(9-x)≦4

3≦x≦6
2≦2/3(9-x)≦4
この二つを足して2倍
10≦x+2/3(9-x)≦20

としました。たしかにこれでは長方形の面積が12m2以上なのに、3*2=6になってしまいます。
自分の解答はどこを間違えどう考えれば良かったのでしょうか？

よろしくお願いします！

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞参考書はAFをxとしているのですが、自分はADをxとして

＞AD＝xとすると、0<x<9　ＢＤ＝９－ｘ
ＥＤ＝ｙとおくと、
長方形の面積が12m^2以上だから、ｘｙ≧１２　……（１）
△ＡＢＣ∽△ＤＢＥより
ＣＡ：ＥＤ＝ＢＡ：ＢＤだから、
６：ｙ＝９：（９－ｘ）
９ｙ＝６（９－ｘ）＝５４－６ｘより、
ｙ＝６－(2/3)ｘ　を（１）へ代入して
ｘ｛６－(2/3)ｘ｝≧１２
両辺に３を掛けて
ｘ（１８－２ｘ）≧３６
２ｘ^2－１８ｘ＋３９≦０
ｘ^2－９ｘ＋１８≦０
（ｘ－３）（ｘ－６）≦０より、
３≦ｘ≦６
ｙ＝６－(2/3)ｘは、単調減少なので、
ｘ＝３のとき、ｙ＝４
ｘ＝６のとき、ｙ＝２より
長方形の周の長さは、
２（ｘ＋ｙ）＝２×（３＋４）＝１４
から、
２（ｘ＋ｙ）＝２×（６＋２）＝１６
よって、１４≦２（ｘ＋ｙ）≦１６

＞自分の解答はどこを間違えどう考えれば良かったのでしょうか？
ｘとｙの対応を間違えています。
ｙ＝2/3(9-x)のグラフを３≦ｘ≦６の範囲で描いてみれば、
ｘとｙの対応の関係が分かると思います。

お礼

非常に分かりやすかったです！
わざわざありがとうございます！

asuncionさん、suko22さんもありがとうございました。
「互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけない」肝に銘じておきます。

回答No.2

asuncion

＞3≦x≦6
＞2≦2/3(9-x)≦4
＞この二つを足して2倍
＞10≦x+2/3(9-x)≦20

x+2/3(9-x)
は、「この二つを足して2倍」状態でしょうか。

そもそも、この解き方が正しいかどうかはよくわかりませんけれど。

回答No.1

suko22

＞解答は
＞周の長さは2{x+2*(9-x)/3}=2/3*(18+x)
＞3≦x≦6より
＞14≦2/3*(18+x)≦16

解答は周の長さをｘで先に表しています。
横と高さは連動しているので周の長さをｘを使って先に求めています。

＞3≦x≦6
＞2≦2/3(9-x)≦4
＞この二つを足して2倍
＞10≦x+2/3*(9-x)≦20

質問者さんの解答は高さの範囲と横の範囲を別々に求めています。そして最小値同士、最大値同士足しています。
ここで、考えてください。
縦が最大のとき、横も最大になりますか？
ならないと思います。
実際、
xの最大値は6です。2/3*(9-x)の最大値は4です。
しかし縦ｘ＝6のとき、横は(2/3)*(9-6)=2です。最大値の4にはなりません。

このような互いに連動している不等式が2つある場合には、安易に最大値同士、最小値同士足してはいけません。なぜなら同じｘで縦、横とも最大値の和または最小値の和になるとは限らないからです。（上の例で明らか）

どうでしょうか？イメージできましたか？