台形の性質について考察した結果

このQ&Aのポイント
  • 台形の性質について考察し、その結果をまとめました。
  • 台形における三角形の面積比や相似図形の面積比について調査しました。
  • 台形における「脚を辺にもつ二つの三角形の面積は等しく、底辺を一辺にもつ二つの三角形の相乗平均に等しい」という説明について疑問を持ちました。
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台形の性質について

いつもお世話になっております。もう少しだけお世話になると思います。 ちょっとしたきっかけで、台形について考察しているのですが、添付画像(図中のaとbはそれぞれ台形の底辺です)をご覧いただきまして…… 画像は台形ABCDを二つの対角線で分割した様子です。三角形の面積比と、相似図形の面積比により、 △BAC:△BAD=a:b。 △BOC∽△DOAにより、△BOC:△DOA=a^2:b^2。 がそれぞれ成り立つのはよく分かるのですが、Wikiを見ますと、このとき「脚を辺にもつ二つの三角形の面積は等しく、それらの面積Sは、底辺を一辺にもつ二つの三角形の相乗平均に等しい」とありました。これが具体的でないためイマイチよく分からないのです。本当なら自分で一から証明出来ればベストなんでしょうが、その頭もなく…… この説明について △ABC=△DBCが成り立つ事を言っているならすぐ分かりますが、実際どうなのでしょう? 平行四辺形ならば、具体的な辺の値を例にして、確かめられたのですが、台形にも言える自信がありません。因みに具体的な平行四辺形で調べた時は、先の説明に則ると、 △COD=△ABO=√(△OBC・△ODA)になるのですが、台形についてもこのように理解して大丈夫でしょうか。 お恥ずかしい限りですが、辛抱してご回答下さると有り難いです。宜しくどうぞ。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

添付された図中、台形の高さをhとすると △AODの面積:bh*b/(a+b)/2=b^2h/2(a+b) △BOCの面積:a^2h/2(a+b) △AOBの面積:bh*a/(a+b)/2=abh/2(a+b) ですから、△AOBの面積は△AODの面積と△BOCの面積の相乗平均になりますね。

dormitory
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。大変な猛者でいらっしゃいますね。自分ももっと頑張らねば、という気にさせられます。

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