数列

質問

一般項が、n×2^n-1　である数列の初項から第n項までの和Snを求めよ

Sn-2Snを使うようなのですが、よくわかりません。

この解法を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

下付き添字nを[n]のように[ ]を付けて表します。

a[n] = n 2^(n-1)
S[n] = 1+2*2+3*2^2+4*2^3+ ... + n*2^(n-1)
2S[n]= 1*2+2*2^2+3*2^3+ ... +(n-1)*2^(n-1) + n*2^n

S[n]-2S[n]=-S[n]
=1+2+2^2+2^3+ ... +2^(n-1) -n*2^n
=((2^n)-1)/(2-1) -n*2^n
=-1-(n-1)*2^n
∴S[n]=1+(n-1)*2^n

お礼

丁寧にありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>一般項が、n×2^n-1　である数列の初項から第n項までの和Snを求めよ
>Sn-2Snを使うようなのですが、よくわかりません。

確かに、"Sn-2Sn" は利器。
…ならば、第 n 項が 2^(n-1) である数列の和のみに頼るパターンは？

　n = 4 の例でも。

　　　　A　　　　　　　B
　---------　　　-------
　1　2　4　8　　　　
　1　2　4　8　　　　1
　1　2　4　8　　　　1　2
　1　2　4　8　　　　1　2　4

　パターン A の集計値から B の集計値を引き算する手です。

以下、Rn = (2^n) - 1 を利用。
パターン A の集計値 = 4*R4 = 4*{(2^4) - 1} = 60
パターン B の集計値 = R1 + R2 + R3
　　　　　　　　　　= (2^1) + (2^2) + (2^3) - 3
　　　　　　　　　　= {(2^4) - 1} -1 - 3
　　　　　　　　　　= (2^4) - 5 = 11
集計値引き算 = 60 - 11 = 49

これを一般化していくと、
　Sn = (n-1)*(2^n) + 1
に成るのかな？　お試しを。

お礼

新しいやり方もためしてみたいと思います。

ありがとうございます