中３数学相似の問題

質問

△ ABCの内部に点Dをとり,点Dを中心として点Aを通る図を描いたものがある。
円が, 辺AB,ACと交わる点を、それぞれE,Fとし, 直線ADが, 点A 以外に円 と交
わる点, 辺BCと交わる点を, それぞ点G,Hとする。AB = 1 5 , B C = 1 4 , AC= 1 3で
且つ∠AHB=90°である。
AB:AF=AC:AE=m:nが成り立つとき、円に点Fで接する接線が点Hを通った。
このときのm:nを,最も簡単な整数の比で答えなさい。

答えは１９５：１１９なのですが、なぜなのか分かりません。
どなたかわかりやすい解説をしてもらえませんか？
よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
なかなかヘビーな問題ですね。
まずは、「わかるところ」を求めていくことからスタートですね。

【角度】
・AB：AF＝AC：AEということから、三角形ABC∽三角形AFEであることがいえます。
すると、∠ACB＝∠AEFであることがわかります。

・次に、三角形AEFと直線FHに注目します。
接弦定理から∠AEF＝∠AFXとなり、さらに∠AFX＝∠HFC（対頂角）でもあるので、
∠HFC＝∠AEFとなります。

つまり、三角形HCFは二等辺三角形であることがわかります。

【辺の長さ】
・AB：AF＝ AC：AE＝ m：n、AB＝15ということから、AF＝ 15n/mとなります。
この n/mの値がどうなるかがわかれば、比の値を求めることができます。
ということは、このAFの長さをなんとかして表したいということになります。

・ところで、CHとAHの長さは意外と簡単に求まります。
∠AHBが直角ですので、CH＝ xとでもおいて「○○○の定理」を用います。
CHも AHの簡単な整数として長さが求まります。

・補助線DFに注目します。
DFを含んでいる三角形ADFと三角形DHFを見ると、
　三角形ADFは、円の半径を等しい長さとする二等辺三角形であり、
　三角形DHFは、DHを斜辺とする直角三角形となっています。

円の半径を rとおいて、AD＋DH＝ AHという式を立てます。
これで rが求まります。そして、AG＝ 2rです。

【仕上げ】
三角形AFG∽三角形AHCです。（なぜかは考えてみてくださいね）
すると、AF：AG＝AH：ACです。
AF＝ 15n/m、AG＝ 2r、AHは先に求めた値、AC＝ 13を代入することで、
n/mの値が求まります。

もうちょっと効率のいい解き方があるかもしれません。
ひとまず、こんな解き方になりました。

お礼

ありがとうございます！けっこう複雑ですね。私ではわからなかったのも無理ないです。
ところで、
「円の半径を rとおいて、AD＋DH＝ AHという式を立てます。
これで rが求まります。」
のところがわかりません。
ｒも求められませんでした。
教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

＞「円の半径を rとおいて、AD＋DH＝ AHという式を立てます。
＞これで rが求まります。」
AD＝ r、AH＝ 12というところまではいいと思います。
（AHは求まってますよね？）

DHについてですが、三角形DHFは直角三角形であり、
HF＝ CF＝ 5、DF＝ rとなるので、DH＝√(r^2+ 5^2)となります。
結果、
　r+ √(r^2+ 5^2)＝ 12
　√(r^2+ 5^2)＝ 12- r

この形に変形できれば、√を消すことができます。
この半径を求めると、「答え」に近付いた感じがでてきます。

ある意味「円の接線」の性質をフルに使ってる感じですね。

お礼

ありがとうございます！
r+ √(r^2+ 5^2)＝ 12
の状態でｒを導こうとしていました。
基本的な変形をし忘れていました。

回答No.2

yyssaa

AH^2=AB^2-BH^2=AC^2-(BC-BH)^2より
BH=(AB^2-AC^2+BC^2)/2BC=(15^2-13^2+14^2)/(2*14)=9よって
AH=√(15^2-9^2)=12
CH=BC-BH=14-9=5
AB/AF=AC/AE=m/nより、AB/AC=AF/AEなので△AEFと△ABCは相似。
接線HFの延長線とAFとのなす角は接弦定理により∠AEFと等しい
ので、∠AEF=∠HFC=∠HCFとなり△HCFは二等辺三角形になるので
HF=CH=5。余弦定理により、HF^2=CH^2+CF^2-2CH*CFcos∠FCH
cos∠FCH=CH/AC=5/13なので、25=25+CF^2-2*5*CF*5/13より
13CF^2-50CF=0、CF=0は除外して、CF=50/13・・・(ア)
AB/AF=AC/AE=m/nよりAF=(n/m)AB=15n/m・・・(イ)
AF+CF=13に(ア)(イ)を代入して
15n/m+50/13=13、195n/m=169-50=119
よってm:n=195:119・・・答え

お礼

ありがとうございます。余弦定理は中学でまだ学習していないので少し難しかったです。