点と直線の距離dを導く過程と定義範囲

このQ&Aのポイント
  • 円と直線の共有点の個数を定める基本的な問題について、点と直線の距離dを導く過程を解説します。
  • 点と直線の距離dの導出には公式を使うこともできますが、公式が使えない場合にも一から式を考えることができます。
  • 具体的な問題として、円x^2+y^2=1と直線y=x+kが異なる二点で交わるときの、定数kの値の範囲を求める方法を解説します。
回答を見る
  • ベストアンサー

点と直線の距離d

お世話になっております。 数学IIの図形と方程式から、実際には円と直線の共有点の個数を定める基本的な問題についてですが、これまた基本的な点と直線の距離dを導く過程でてこずってしまい、恥ずかしながら質問致します。 問題「円x^2+y^2=1とy=x+kが異なる二点で交わるときの、定数kの値の範囲を定めろ」というのを、原点から直線までの距離dと円の半径rとの関係から導く方法でもとめようと思います。 公式を使えば、d=|k|/√(2)と出来ますが、公式の定着が良く無く、一から式を立てようとやってみましたら…… y=x+k…(1) として、まず原点Oから直線(1)に垂線を下ろし、その足をH(x0,y0)とする。二直線については、(1)⊥直線OH であるから、OHの方程式の傾きmは、m・1=-1より、m=-1。また、OHは原点Oを通るから結局OHの方程式は y=-x…(2)になる。 さらに垂線の足Hは、二直線(1)(2)の交点であるから、(1)と(2)の連立方程式の解としてHの座標が得られる。これを解くとx0=-(k/2)、y0=k/2。 これらから、dは線分OHの長さとして、d={√(2k^2)}/2。一方円の半径rは1だから、 {√(2k^2)}/2<1。有理化して整理すれば、|k|<√(2)より場合分けして、-√(2)<k<√(2) となる。 一から式を立てると面倒ですが、公式の丸暗記が当てにならない当方としては、時々こうやって一から考え直すと頭がスッキリするのですが、公式を使う場合より、計算が煩雑で解き方より計算に脳みそが偏ってしまいます。なので、ここまでの解の筋道についておかしな点がありましたら、御指摘下さると嬉しいです。宜しくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

d = |k|/√2 の求めかたは、それでバッチリです。 そのやり方で「点と直線の距離公式」を導くこともできるし。 d = √((x0)^2+(y0)^2) = √(2(k^2)/4) = |k|/√2 を計算して、 d < 1 を k の範囲に翻訳すればいいですよね。 距離公式を導くには、垂線の方程式を求めるより、 直線上の点の位置ベクトルと直線の単位法線ベクトルの内積 を考えた方が計算が楽かと思いますが、好みの問題ですからね。 この一問を解くだけなら、y=x+k を x^2+y^2=1 へ代入して 実根がふたつになる条件を考えるだけでもいいです。

dormitory
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。ご回答の最後の一文「この一問をとくだけなら~」については、特に同感です。面倒ったらありゃしないですよね。この距離dと半径rの関係から求める方法のメリットって何かあるのでしょうか…

dormitory
質問者

補足

ベクトルを利用する件についてトライしてみようと思います。いつも良いヒントを下さり助かります。

その他の回答 (1)

  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)
回答No.2

あなたのやり方であってますよ。 でも私はあまりよく思いません。 計算大変でしょ。あなたも書いていますが、計算で一杯一杯になり、 他のことが頭に入ってこなくなります。 特に応用題を解くときはこんなことしていては計算で労力をとられ、 頭がくたくたになり、わけがわからなくなるのでは?と思います。 公式はその労力を減らすために、ある便利な道具なんです。 積極活用する力も大切です。 あなたのように「一からしっかり公式の意味を確認する」という意味では、 とても大切なことをやっていると思います。 しかし、「数学の問題を解く」という意味ではセンスがなさすぎると個人的には思います。 公式や定理を使いこなして、応用題をいかにして解くかが数学では試されていると思うからです。 よく、数学では公式を使う前に証明したりしますけど、 わかる人にはそれでいいと思いますが、これが数学嫌いを産む元凶です。 数学の教科書はそういう意味ではほんとによくないと思います。 (数学専門の人が作るからそうなっちゃうんです) 公式などは証明がもし最初理解できなかったら、まず具体的な問題で使ってみるべきだと 思うのです。 例えば、三角比の正弦定理や余弦定理などは証明はほっといてさっさと使い方覚えたほうが 問題さくさく解けますよね。 電化製品使うとき、説明書読むよりまずいじってみるみたいなもんです。 ほとんどの人にとって数学を学ぶ意味は、数学的な思考力をつけるためです。 数学的思考力とは、難しい問題を一つ一つ丁寧に紐解いて、その分解したものを 自分の知っている知識に結びつけ、そして順序だてて解いていくことができる能力のことです。 (つたわりましたかね。上手く表現できなくてすみません。) だから、有用な公式は道具として使えるようにしておくのが最善です。 そうすると複雑な問題を考えるときでも、余計な計算に労力をとられたり、問題を複雑化することなく 単純化してみることができるようになります。 これからは公式の使い方を勉強されるとよいと個人的には思います。

dormitory
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。おっしゃる通り、煩雑ですよね。この法則の使いどころに悩みます。 ただ、数学には公式が山のようにあるので、暗記すべきものと証明を覚えるものとを分けて対応していきたいなぁ、と考えております。特に無機的な数学公式は、証明で有機的にしないと暗記するのがかえって大変でして… また、これは人によるとは思いますが、具体的な値で公式の使い方を覚えるのは、単元にもよるのかなぁと考えております。特に、個数の処理や数列は、証明が理解し辛いのが多いように私的に思いますので、うまく使い分けが出来たらなぁと考えております。いずれにしても、脳みその持久力との勝負ですよね。

dormitory
質問者

補足

ご回答の半ばあたりの「つたわりましたかね~」はよく伝わりました。問題集こなして対応力を養いたいと思います。

関連するQ&A

  • 数学II 点と直線の距離

    御世話になっております。 点と直線の距離の公式、|ax0+by0+c|/√a^2+b^2 (直線の方程式をax+by+c=0で、点の座標を{x0、y0}とするとき) を定める時の筋道なのですが、単に公式覚えるよりも全体像掴みやすいのかな、と思い質問しました。 図をご参照くださると有り難いです。 点を原点においていますが、この時、点Oから直線Lに下ろす垂線OHの方程式は、 bx-ay=0…(1) このあと、OHとLの交点Hの座標を立てますが、これが x0=ac/a^2+b^2 y0=bc/a^2+b^2 になるみ・た・い・ですが、この式を得る筋道がよく解りません。これは、直線ax+by+c=0(L)と直線bx-ay=0(線分OH)を連立方程式で解き、交点H(x0、y0)を得た、ということなのでしょうか。 因みにこれ以後の公式を得る筋道は把握しております。この部分だけ、よく解らないのです。アドレス下さい。宜しくお願い致します。

  • 点と直線の距離

    点と直線の距離の公式の証明で、  点P(x1,y1)と直線lの距離をdを求める。  点Pと直線lをx軸方向に-x1、y軸方向に-y1だけ平行移動すると、Pは原点Oに、直線lはそれと平行な直線l'に移り、dは原点Oと直線l'の距離に等しい。  l'の方程式は、数Iで学んだことから、    a{x-(-x1)}+b{y-(-y1)}+c=0 すなわち    ax+by+(ax1+by1+c)=0 dは、原点Oと直線l'の距離に等しいから、点と直線の距離の公式がなりたつ。 と書いてありました、 いってることは、わかるんですが、 >dは、原点Oと直線l'の距離に等しいから ここからどう、求めるのかがわかりません。 教えてください。よろしくお願いします。

  • 点と直線の距離を求める方程式

     円(x-2)^2+(y-2)^2 = √5 と 直線 y = mx の交点を E、F とする。線分 EF の長さが 2 のときの 直線の傾き m を求める。  原点を O、円の中心を P、P から EF に下ろした垂線と EF の交点を H とする。   PH^2 + HE^2 = PH^2 + 1 = 5.   PH = 2.  P(2,2)、mx - y = 0 なので、点P(x0,y0) と 直線 L: ax + by + c = 0 の距離の公式   |ax0+by0+c|/√(a^2+b^2) を使えば   |2m-2|/√(m^2+1) = 2.   |2m-2| = 2√(m^2+1).   (2m-2)^2 = 4(m^2+1).   4m^2 - 8m + 4 = 4m^2 + 4.   m = 0  どこがおかしいのでしょう?

  • 2点を通る直線とある点からの直交点

     2点(x1,y1),(x2,y2)を通る直線と、別のある点(x3,y3)からこの直線に向かって引いた垂線との交点を求める式を教えてください。自分で方程式を解いて求めることも可能ですが、よく使われている簡略化された公式があるのかどうか知りたいと思っています。よろしくお願いします。

  • 円と直線

    円x^2+y^2-x-y-2=0と直線3x+y-2=0の2つの交点および原点を通る円の中心と半径を求めよ。答えには定数kを使うと書いてあるのですが分かりません。 点P(0,-3)を通り、円x^2+y^2+2x-1=0に接する直線の方程式と、座標を求めよ。 教えてください。

  • 点と直線の距離

    次の点と直線の距離を求めよ (1)点(-3,5)と直線x=1 (2)点(1,2)と直線y=2x-5 なのですが、点と直線の距離の公式 点p(x1,y1)と直線ax+by+c=0の距離dは d=|ax1+by1+c|. ÷√a^2+b2 なのは分かっているのですが どのように問いていいのか分かりません(。-_-。) 解説をよろしくお願いします><

  • 点と直線の距離の証明

    点と直線の距離の公式証明について 垂線の足をH とおくと,H は,直線ax +by + c = 0 に垂直で点A(x₁,y₁) を通る 直線と,もとの直線の交点である。 このあとの証明をやるのを宿題に出されました。3つの場合分けをするようですが、どうすればいいかわかりません。分かる方がいれば教えて下さい。お願いします。

  • 点と直線の距離の最大値

    直線l:(2t+1)x-(3t+1)y-3t-2=0と点A(2、0)がある 直線lと点Aとの距離が最大になるようなtの値と、そのときの距離を求めよ。   この問題がどうしても解けません 途中まで解けたのですが・・・ ヒントをよろしくおねがいします 直線lの方程式をtについて整理して (2x-3y-3)t+(x-y-2)=0 tについての恒等式として、 2x-3y-3=0、x-y-2=0よりx=3、y=1 ∴直線lは(3、1)を通る 直線lと点Aの距離をdとすると、dが最大になるとき、 d=2点(2,0)(3,1)の距離なのかな?って直感的に思ったんですがそれを証明する方法がわからないのでこれは間違っているのでしょうが?

  • 直線と円

    点(3,1)を通り、円(x^2)+(y^2)=2に接する直線の方程式をを求めたいのですが分かりません。 直線の傾きをmとおくと 直線はy-=m(x-3) 点と直線との距離の求めかたは h=|ax+by+c|/√(a^2+b^2) を利用するらしいのですがよく分かりません。 誰か教えていただけないでしょうか?

  • 3次元での直線と点の距離

    点A(x1,y1,z1)と点B(x2,y2,z2)を通る直線Cと 点D(x3,y3,z3)の距離を求めたいんですが、 公式などありますでしょうか?