ニュートン法とは

質問

中3女です。

夏休みの研究で平方根の近似値をもとめているのですが、
ニュートン法が全く理解出来ません。
開平法は大変なので、
ニュートン法でやろうと思っています。

どなたか分かりやすく説明してください。
お願いします。

回答No.3

178-tall

>開平法は大変なので、ニュートン法でやろう…

「中3」なら、男女を問わず「微分法」は通用しないのでしょうね。がんばってみて。

「開平」の場合、「ニュートン法」は、
　(x - d)^2 = x^2 - 2dx + (d^2)
の二乗算式にて、d が微小のとき (d^2) の項を無視した近似式、
　(x - d)^2 ≒ x^2 - 2dx　　　…(*)
を利用するのに相当します。
「二乗される数値 x を d だけ減らすと、二乗結果が 2dx ほど減る」ことを利用して、開平すべき数値 Y の平方根へ (徐々に) 近づけていく、という手法。
開平法は大変ですが、ニュートン法でも筆算は大変。電卓でも使えば、かなり楽です。
EXCEL などのスプレッドシートを使えれば、アッという間に収束してくれますが…。

例として 2 の平方根を…。
まず 2 の平方根の近似値 xo を決める。
面倒なので xo = 2 としてみよう。
(xo)^2 = 4 だから、2 との誤差 e = (xo)^2 - 2 = 2 。
ここで式 (*) を使い、誤差 e をゼロに近づけようというのが「ニュートン法」。
　(xo - d)^2 ≒ xo^2 - 2dxo　　　…(**)
の右辺が e = 2 だけ減るように d を決める。
つまり、
　2dxo = e = 2
　d = e/(2xo) = 1/2
を得て、(xo - d) を「改善された」近似値 xr にする。
以上の勘定をまとめれば、
　xr = xo - d = xo - (xo^2 - 2)/(2xo) = (xo^2 + 2)/(2xo)

試しに xo = 2 としてみると、
　xr = (xo^2 + 2)/(2xo) = (4 + 2)/(2*2) = 6/4 = 1.5

あとは、これを繰り返すだけ。
次は xo = 1.5 として xr を勘定。… …
スプレッドシートにて試してみると、6 回目で計算精度内の誤差零になりました。

回答No.2

ki073

平方根を求めるのに二分法などがあります。中三程度で理解できると思います。手間はかかりますが電卓かそろばんでも可能です。
http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2004/5E/nonlinear_equation/real/html/node3.html

ニュートン法も載っていますので参考に。

回答No.1

DJ-Potato

ニュートン法が理解できないのは、中３では扱っていない計算方法を用いているからです。
数列と微分積分と無限の概念ですね。高校２年～３年のレベルです。

中３の課題で高校以上のレベルの解法を用いるのは不適切だと思います。
夏休みの間に高校数学をマスターするより、素直に開平法を用いた方が、大変じゃないと思います。