微分について分からないことがあります

質問

微分法について現在学んでいるのですが、分からない記述があり困っております。具体的には、以下の文を読んでいるときに、ふと「微分」という言葉を辞書で調べてみたときのことで、その辞書の解説の意味が分からず困っております。（読んでいた文ではなく、辞書の解説が分からないということです）

（読んでいた文）

関数 f (x) において、一般の点(x , y)においては、接線の傾きが f ' (x) であるから、次のようになります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　dy = f ' (x)dx

ここで、dx と dy を、「微分」といいます。 f ' (x) は微分 dx の係数なので、「微分係数」とも呼ばれます。

（辞書の解説）

関数 y = f (x)が微分可能であれば、Δy = f (x + Δx)とおくと lim_Δx→0 Δx/Δy = f ' (x) であるから、次のように書くことが出来る。
Δy = f ' (x)Δx + ε, lim_Δx→0 ε/Δx = 0
したがって、Δy = f ' (x)Δx がこの関数の１次式としての近似を表わすわけで、このΔx,Δyを変数であらわしてdy = f ' (x)dx と書き、この正比例関数 df : dx →f ' (x)dxを f の微分という。また、変数 dx や　dy のことを微分ということもある。f ' (x) が微分係数と呼ばれるのは、 f ' (x) が y の微分 dy における x の微分 dx の係数になっているからである。

この辞書の解説の、εが出てきたあたり、具体的には
「～次のように書くことが出来る。
Δy = f ' (x)Δx + ε, lim_Δx→0 ε/Δx = 0
したがって、Δy = f ' (x)Δx がこの関数の１次式としての近似を表わすわけで～」
の部分が全然分からなかったのですが、その前の記述に関しても不安なので、どうせなら全て解説していただけないかなと思っております。難しい日本語でもいいので、できるだけ論理の飛躍はしないで解説していただけないのでしょうか？「何を解説すればいいんだ！」と言われそうですが、もし自分が高校卒業程度のレベルの人に、この辞書の記述を優しく解説するとしたらこうなるだろうな、みたいな感じでお願いできないでしょうか・・・。重点的には先の部分をよろしくお願いします。

ちなみに私は大学１年生です。
回答よろしくお願いします。

回答No.13

Caper

重ねてごめんなさい。ANo.11 にさらに誤記がありました。6) 式 の次の記述です。

　[ 誤 ]
　上記の 6) を y = f(x) の微分と呼びます。

　[ 正 ]
　y = f(x) が、定義域である 区間 I で微分可能であるとき、区間 I を定義域とする導関数 y ' = f '(x) が決まります。
　このとき、x と dx を変数とする 2 変数 の関数 dy = f '(x)・dx のことを、y = f(x) の微分と呼びます。

回答No.12

Caper

ごめんなさい。私は ANo.11 を投稿した者です。ANo.11 [ 補足 2 ] の冒頭部分に誤記がありました。

　[ 誤 ]
　上記において、Δx を dy と表記を変更しました。

　[ 正 ]
　上記において、Δx を dx と表記を変更しました。

回答No.11

Caper

● 私は ANo.6 と ANo.8 を投稿した者です。
　 ANo.6 と ANo.8 は的はずれの投稿でした。たいへん失礼いたしました。不必要な極限値の定義などを、私は記述してしまいました。ごめんなさい。

● ( 辞書の解説 ) の筆者が示したいことを、私はもう一度推測してみました。

　 なお、単純化するために、実数の区間 I を定義域とする 実数値関数 y = f(x) が x = c (∈ I) において微分可能であるとして、話を進めさせてください。また、dy と dx の定義については、表現をかなり変更しました。

● 関数 y = f(x) が x = c において微分可能であるとします。このとき、その微分係数を f '(c) と表わすことにします。また、Δy を次の 1) のとおりに定めます。

1) Δy = f(c + Δx) - f(c)

　 Δy は、Δx を変数とする 1 変数 の関数です。
　 また、定義より、Δx が 0 に近づくときの Δy / Δx の極限値が f '(c) です。
　 次に、ε を次の 2) のとおりに定めます。

2) ε = Δy - f '(c)・Δx

　 ε は、Δx を変数とする 1 変数 の関数です。
　 上記の 2) の両辺を Δx で割ったものが、次の 3) です。

3) ε / Δx = (Δy / Δx) - f '(c)

　 上記の 3) において、Δx を 0 に近づけてみます。Δx が 0 に近づくときの Δy / Δx の極限値が f '(c) でありますから、Δx が 0 に近づけば、3) の右辺は 0 に近づきます。すなわち、Δx が 0 に近づけば、3) の左辺 ε / Δx が 0 に近づくわけです。

　 Δx が 0 に近づけば、ε / Δx が 0 に近づくということは、Δx が 0 に近い値を取るとき、ε はさらにそれよりも 0 に近い値をとるということです。

　 上記の 2) を次の 4) のとおりに変形します。

4) Δy = f '(c)・Δx + ε

　 上記のとおり、Δx が 0 に近い値をとるとき、ε はさらにそれよりも 0 に近い値をとるわけですから、4) によって、Δx が 0 に近い値をとるとき、Δy と f '(c)・Δx とは同値に近くなります。

　 この f '(c)・Δx を、次の 5) のとおりに、dy と定めます。

5) dy = f '(c)・Δx

　 dy は、Δx を変数とする 1 変数 の関数です。
　 さらに、この Δx を dx と表記を変更することにします。その結果、dy は次の 6) のとおりに定まります。

6) dy = f '(c)・dx

　 上記の 6) を y = f(x) の微分と呼びます。

● 以下は、補足です。

　 [ 補足 1 ]

　 上記の 関数 y = f(x) が x の - ∞ 次式 もしくは 0 次式 もしくは 1 次式 であるとき、Δx が 0 に近づいても近づかなくても、上記の ε は 0 です。

　 [ 補足 2 ]

　 上記において、Δx を dy と表記を変更しました。この変更が許される理由は、以下のとおりです。

　 恒等関数 z = g(x) = x は、x = c において微分可能です。ですから、上記に従うことによって、dz が次の 7) のとおりに定まります。

7) dz = g '(c)・Δx = 1・Δx = Δx

　 すなわち、dz = Δx となるわけです。もともと、z = x であるわけですから、dx = Δx という等式は満たされるものとします。

　 [ 補足 3 ]

　 ( 辞書の解説 ) の最後の記述について、私は知識を持っていません。その最後の記述とは、「 変数 dx や dy のことを微分ということもある。f '(x) が微分係数と呼ばれるのは、f '(x) が y の 微分 dy における x の微分 dx の係数になっているからである 」というくだりです。

● 以上の記述にまちがいが含まれていましたら、重ねてごめんなさい。

回答No.10

noname#221368

本質は、#4さんで尽きていると思いますが、間違いも含めて（「Δy = f(x+Δx) とおく」は、確かに間違い）、辞書の気分（？）を述べてみたいと思います。

　最初に、「平均傾きを持つ1次関数でいくらでも良く近似できる事が、微分可能」とあえて言っておきます。もちろん近似の程度は、Δxの幅に依存する訳ですが、いくらでも良く近似できるので、Δx→0では、微分可能な関数は、1次関数になってしまうだろう、という話です（←怒られませんように！・・・(^^；)）。

　自分はけっこういい加減なので、上記を、h～0（概ね0）として　f(x＋h)＝f'(x)＋f’(x)・h　（hに関する1次関数）などと、もろに書いてしまいます。f(x)を移項すればこの式は、Δy = f ' (x)Δx + ε　と良く似ていませんか？。Δx＝hと考えて下さい。Δx→0なので、εはε＝0です（←不正確）。

　じつは通常の（高校時代の）微分の定義が、以上のような状況と同等だというのが、#4さんの次の一言です。
（怒られませんように！、と祈りつつ・・・(^^；)）。

＞式を変形して、ε を消去すると、
＞(Δx→0 のとき { f(x+Δx) - f(x) } / Δx → a) となるような
＞a が存在するとき、「f(x) は微分可能である」と言い、・・・

　つまり微分とは、関数の1点での関数の1次関数化（局所線形化）の事です。またそれが可能なとき、微分可能と言います。そういう訳で微分（微分操作）とは、局所線形化または、線形化によって対応する1次関数（線形関数）の事を指します。

　なので辞書の、

　　・この正比例関数 df : dx →f ' (x)dxを f の微分という。

はかなり本質をついた言葉だと思います。またこのような（線形化の）感覚がないと、多変数の全微分やヤコビアン（陰関数定理に出てくる）などで、戸惑う気がします。

　もちろん、なんで辞書なのさ？とは思いましたが、あまり意味を語ってくれる本がないからかな？、とも思いました。最近あまり聞きませんが、森毅先生は、微分に関するこの辺りの事情を、けっこうあっさり認めていた気がします。

　　(1)微積分の意味，森毅，日本評論書，1978年．
　　(2)ベクトル解析，森毅，筑摩書房，2009年．

　(2)は昔「国土社」から出ていて絶版になりましたが、調べたら筑摩書房で復刻されてたので、ちょっと嬉しかったです。全微分やヤコビアンの意味は、自分は(2)を読んで初めて理解できました。(1)は絶版でしょうが、Amazonにはあります。あるいは両方とも、大学図書館にあるかも・・・、です。

回答No.9

BASKETMM

他人の書いた本の悪口を言いたくありませんが、お使いになった辞書はあまりよくないと思います。
使われている単語の意味が不明確です。
この辞書の内容は、忘れて他の本を読まれる事をお勧めします。

微分という言葉、全微分という言葉、似た言葉は沢山ありますね。

私は間違っていますか。

お礼

他の方も、使った辞書はあまり良くないと言っておりますし、ちゃんとした数学の本を参考にします！
回答ありがとうござました。

回答No.8

Caper

ごめんなさい。私は ANo.6 を投稿した者です。ANo.6 に誤記がありました。3番目 の ●項目においてです。

　[ 誤 ]
　… |ε/Δx| < ε と書き換えれば、…

　[ 正 ]
　… |ε/Δx| < ε' と書き換えれば、…

回答No.7

B-juggler

http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/diff/diff.htm

Ｎｏ．２です。

ちょっと先に訂正。

Ｎｏ．２中で、間違えているから　訂正してお詫び。

Ｌｉｍ　⊿ｘ→０　｛ｆ（ｘ＋⊿ｘ）－ｆ（ｘ）｝／｛（ｘ＋⊿ｘ）－（ｘ）｝

が正しいです。すいません。

で、上のサイトは、基本式が載っているから。それだけ見て欲しい。

記号がごっちゃになっているから、気をつけてみて欲しいのだけど。

国語辞典の方では、⊿ｙ　の定義を　⊿ｙ＝ｆ（ｘ＋⊿ｘ）　と、してるね。

これだとね、ｘ＋⊿ｘ　の地点での　ｙ　の値でしかない。

　＃ｙ軸の増加分ではないよ。

上の式の分子、が増加分ですよ。　＃　ｆ（ｘ）を引かないと！

＞関数 y = f (x)が微分可能であれば、Δy = f (x + Δx)とおくと
＞lim_Δx→0 Δx/Δy = f ' (x) であるから、次のように書くことが出来る。
＞Δy = f ' (x)Δx + ε, lim_Δx→0 ε/Δx = 0

ここでしょう？

これちょっと(￢、￢) アヤシイ？？と思った。

lim_Δx→0 Δx/Δy = f ' (x)　この式

分子分母、多分逆。

εはこうやっていいのか？

こんな風に難しくやる必要もないと思うんだよね。

一番上、ページの定義式どおりに行った方が、素直できれいだと思う。

普通にこういうのを高校でやったと思うけれど。

ｆ（ｘ）＝ｘ＾２　とします。

ｆ’（ｘ）＝Ｌｉｍ　⊿ｘ→０　｛（ｘ＋⊿ｘ）＾２－（ｘ＾２）｝／｛（ｘ＋⊿ｘ）－（ｘ）｝

　＃以下　⊿ｘ→０は略ね

　＝Ｌｉｍ　｛ｘ＾２　＋２（⊿ｘ）ｘ　＋（⊿ｘ）＾２　－ｘ＾２｝／⊿ｘ

　＝Ｌｉｍ　｛（⊿ｘ）（２ｘ＋⊿ｘ）｝／⊿ｘ

　＝Ｌｉｍ　｛２ｘ＋⊿ｘ｝　＝２ｘ，，

餅は餅屋。国語辞典は国語辞典。数学は数学の参考書が好いと思うよ。

εしか出てないから、εーδ論法を使っているわけでもないし、

なんか怪しく感じるけれど・・・。

ちゃんと文章は読もうね。図も見てくれた？

国語辞典の定義と、σ(・・*)の定義はどっちがどうだって言う判断は、

自分でやらなきゃ。大学生になっているんだから、人に頼る癖がついてはいけないよ。

ここは基本だから書いたけど、本来なら書かないよ＞＜

元代数学の非常勤講師でした。

　＃あぁ、この聞き方、分かろうとしていない。と、斬ってしまう。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.6

Caper

● 関数 y = f(x) が x = c において微分可能であるとします。そして、x = c における微分係数を γ と表わすことにします。

　 このとき、定義より、任意に取り出した正の実数 ε' に対して、次の *) を満たす正の実数 δ が存在します。

*) 0 < |x - c| < δ を満たす任意の実数 x に対して、|((f(x) - f(c))/(x - c)) - γ| < ε' である。

● ところで、Δx, Δy, γ を次のとおりに置くことにします。

　 Δx = x - c
　 Δy = f(x) - f(c)
　 γ = f '(c) (= lim_{Δx → 0}(Δy / Δx))

　 このとき、*) は次のとおりに書き換えられます。

*) 0 < |Δx| < δ を満たす任意の実数 Δx に対して、|(Δｙ- f '(c)・Δx)/Δx| < ε' である。

● ところで、ご質問の文章に登場する ε は次の **) のとおりですよね。

**) ε = Δy - f '(c)・Δx

　 上記の *) における |(Δｙ- f '(c)・Δx)/Δx| < ε' を、|ε/Δx| < ε と書き換えれば、Δx が 0 に近づくとき、ε/Δx が 0 に近づくことが見えてくるのではないかと、私は思います。

● 最後に、上記の **) を少し変形してみましょう。

**) Δy / Δx = f '(c) + (ε/ Δx)

● 私はそこつ者です。以上の記述がまちがっている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。

回答No.5

ramayana

「Δy = f ' (x)Δx + ε, lim_Δx→0 ε/Δx = 0」の部分は、多分、次の意味なのでしょう：

「f ' (x)Δx-Δyをεと置くと、ε= f ' (x)Δx-Δyの両辺をΔxで割って
　　ε/Δx = f ' (x) -Δy/Δx
なり、さらに両辺のΔx→0の極限をとって
　　lim_Δx→0 ε/Δx = ( lim_Δx→0 f ' (x)) - (lim_Δx→0Δy/Δx) = f ' (x) - f'(x) = 0
となる。」

ただし、その後の解説で出てくる

「このΔx,Δyを変数であらわしてdy = f ' (x)dx と書き、この正比例関数 df : dx →f ' (x)dxを f の微分という。また、変数 dx や　dy のことを微分ということもある。f ' (x) が微分係数と呼ばれるのは、 f ' (x) が y の微分 dy における x の微分 dx の係数になっているからである。」

の部分は、かなり違和感があります。これでは分からないという質問者さんの感覚の方が、正常だと思います。dxやdyなど「微分」というのは、単なる数値を表す変数ではありません。あえて言えば「ある種のベクトル空間で定義される関数」を指す概念です。きちんと理解するには、安易な「辞書」に頼るよりも、微分幾何学の教科書を読むのが近道ではないでしょうか。

回答No.4

alice_44

「Δy = f(x+Δx) とおくと」は、間違い。
Δy を y の増分、つまり Δy = f(x+Δx) - f(x) と置くと、
Δy = f'(x) Δx ではなく、Δy = f'(x) Δx + ε と書ける。
ε = f(x+Δx) - f(x) - f'(x) Δx と定義した訳だ。
f'(x) Δx は、Δy と一致はせず、単に Δy を一次近似する
に過ぎない。その近似誤差が、ε。
この ε が (Δx→0 のとき ε→0) を満たすことを、
「f(x) は微分可能である」と呼ぶ。
いや、f(x) が微分可能であって初めて f'(x) と書けるので、
ε = f(x+Δx) - f(x) - a Δx と置くと (Δx→0 のとき ε→0)
となるような a が存在するとき、「f(x) は微分可能である」
と言い、f'(x) = a と書く …とするべきか。
式を変形して、ε を消去すると、
(Δx→0 のとき { f(x+Δx) - f(x) } / Δx → a) となるような
a が存在するとき、「f(x) は微分可能である」と言い、
f'(x) = a と書く …と、よく見かける微分係数の定義になる。