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【放物線の問題】

放物線y=x^2上の原点と異なる点Aにおける法線とこの放物線の交点をBとする。 ただし、点Aにおける法線とは、点Aを通りAにおける接線と直交する直線である。 (1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。 (2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は? 解ける方いらっしゃいましたら、 お願いしますm(_)m

みんなの回答

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.5

#1です。 #2さん、指摘有難う。指摘通りミスでした。 A#1にミスが有りましたので訂正します。 >(b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a) >A、Bは異なる点とすればa≠bなので >(b-a)で割って > a+b=1/(2a) ...(A) 以降(A)式の符号ミスで以降に影響がでますので、以下で差し替えをお願いします。   a+b=-1/(2a) ...(A)   b=-1/(2a)-a   ab=-1/2-a^2 ...(B) (1) A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より  X=(a+b)/2=-1/(4a) ...(C)  Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2   =(1/(4a^2)+(1+2a^2))/2=1/(8a^2)+(1/2)+a^2 ...(D) (C)より  a=-1/(4X) (D)に代入してaを消去  Y=2X^2 +(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え (2) 相加平均・相乗平均の関係より  Y=2X^2 +(1/16)/X^2 +(1/2)  ≧2√(2/16) +1/2=(√2+1)/2 (Yの最小値) 最小値をとる時は  2X^2=(1/16)/X^2  X^4=1/32  X=±1/2^(5/4) …(※) (C)より  a=-1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4)) …(※)  a=-(±1)/2^(3/4) …(※) ここで(※)は複号同順です。 失礼しました。

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.4

(1)線分ABの中点をP(X,Y)とするとき、YをXで表せ。 A=A(p,p^2)とする。 Aを通る法線をy=ax+bとすると、y'=2xよりa=-1/(2p)、 p^2=-1/(2p)*p+bよりb=p^2+1/2。よって法線はy=-1/(2p)x+p^2+1/2 Bのx座標は、x^2=-1/(2p)x+p^2+1/2よりx^2+1/(2p)x-p^2-1/2 =(x-p){x+p+1/(2p)}=0、x=-p-1/(2p) 線分ABの中点P(X,Y)よりX=(1/2)[p+{-p-1/(2p)}]=-1/(4p) 法線の式に代入してY=-1/(2p){-1/(4p)}+p^2+1/2 =1/(8p^2)+p^2+1/2、p=-1/(4X)を代入して Y=1/[8{1/(16X^2}]+1/(16X^2)+1/2=2X^2+1/(16X^2)+1/2・・・答 (2)Aを動かす時、(1)で求めたYの最小値は? Aが(0,0)ではBは存在しないので、p≠0 Y=1/(8p^2)+p^2+1/2より dY/dp=-1/(4p^3)+2p=0とおくと8p^4=1、p^2=√(1/8) d(dY/dp)/dp=3/(4P^4)+2>0よりY(p)は下に凸でありp^2=1/√8 で最小となるので、Y=1/(8p^2)+p^2+1/2に代入して、 Y=(1/8)(√8)+1/√8+1/2=(1+√2)/2・・・答え

回答No.3

点A(α、α^2) α≠0 とする。 点Aにおける接線の傾きは 2α。従って その法線の傾きは -1/(2α)だから 法線の方程式は y=(-1/2α)*(x-α)+α^2.これがy=x^2と交わるから x≠αから x=-(2α^2+1)/(2α)。 その時の y座標はy=x^2=(2α^2+1)^2/(2α)^2。 よって、2Y=α^2+(2α^2+1)^2/(2α)^2=(8α^4+4α^2+1)/(4α^2) → 8Y=2α^2+1+1/α^2. α^2>0から 相加平均・相乗平均より 8Y=2α^2+1+1/α^2≧2√2+1. つまり、最小値は (2√2+1)/8 等号は、2α^2=1/α^2の時 つまり α=±1/(4)√2 の時。

  • yyssaa
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回答No.2

#1さんへ a+b=1/(2a) ...(A) は a+b=-1/(2a) ...(A) ではありませんか?

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

A(a,a^2),B(b,b^2)とすると y'=2xより 法線の方程式は y=-(x-a)/(2a) +a^2 y=-x/(2a)+a^2+(1/2) B(b,b^2)を通るから b^2=-(b-a)/(2a) +a^2 変形すると (b-a)(b+a)=-(b-a)/(2a) A、Bは異なる点とすればa≠bなので (b-a)で割って  a+b=1/(2a) ...(A)  b=1/(2a)-a  ab=1/2-a^2 ...(B) (1) A,Bの中点がP(X,Y)なので(A),(B)より  X=(a+b)/2=1/(4a) ...(C)  Y=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2-2ab)/2 =(1/(4a^2)-(1-2a^2))/2=1/(8a^2)-(1/2)+a^2 ...(D) (C)より  a=1/(4X) (D)に代入してaを消去  Y=2X^2 -(1/2) +(1/16)/X^2 ← 1)の答え (2) 相加平均・相乗平均の関係より  Y=2X^2 +(1/16)/X^2 -(1/2) ≧2√(2/16) -1/2=(√2-1)/2 (Yの最小値) 最小値をとる時は  2X^2=(1/16)/X^2  X^4=1/32  X=±1/2^(5/4) (C)より  a=1/(4X)=-(±2^(5/4-2))=-(±2^(-3/4))=-(±1)/2^(3/4)

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