2次関数で求める正方形内の四角形における面積最小値

質問

2次関数の問題についての疑問です。

１辺の長さがaの正方形ABCDにおいて, 辺AB, BC, CD, DA 上にそれぞれ点P, Q, R, Sを
AP = BQ = CR = DS
となるようにとる. このとき, 四角形PQRSの面積の最小値を求めよ.

という問題が参考書にあります。解答には

AP = BQ = CR = DS = ax
とおくと, xは
0 < x < 1 ・・・(1)
を変化する変数である.

とあり、三角形APSの面積は

1/2AP・AS = 1/2ax(a-ax) = a^2/2x(1-x)

と求めています。四角形の面積は、正方形からそれら三角形の面積を取り除いて求め、
答えは, 値をyとおき

y = a^2 - a^2/x(1-x)・4 = a^2{1-2x(1-x)}
= a^2(2x^2-2x+1) = a^2{ 2(x-1/2)^2 + 1/2 } ・・・(2)

(1), (2)より求める最小値は, a^2/2
となっています。

以下私の疑問です。
私は　AP = BQ = CR = DS = ax　ではなく、

AP = BQ = CR = DS = x　　・・・ i

として問題を解きました。このとき、式は

y = a^2 -1/2x(a-x) * 4 = a^2 -2xa + 2x^2
= 2(x - a/2)^2 + a^2/2　　・・・ii

となり、やはり最小値は　a^2/2　となります。
私の解いた方法では間違いでしょうか。

気になるのは、参考書の解説では最小値のときの値が、x = 1/2　と文字がまざらず、私の方法では最小値　a^2/2 のとき　x = a/2　と文字が混ざってしまいます。
それに加え、参考書の答えと比較し,　ではaは１なのかとおもい、私の式iiにa = 1を代入して解いてみたのですが、何か具合がよろしくありません。
私のやっていることおかしいでしょうか。

また、問題を解いていて思ったのですが、a = a^2　となる数字は１しか存在しませんか。
最初から1を代入するのではなく、aやa/2を代入して、解いてからグラフ上でa = 1を代入すると上手くいくように思えるのですが、これはいったいどういうことなんでしょう。

独学なもので、身近にだれも聞ける人がおりません。
どなたか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

私の解いた方法では間違いでしょうか。
＞正しい方法です。むしろ、参考書よりもむしろ一般的な解法だと思います。計算途中で扱う文字数が少ない程、計算ミスが減るからです。

気になるのは、参考書の解説では最小値のときの値が、x = 1/2　と文字がまざらず、私の方法では最小値　a^2/2 のとき　x = a/2　と文字が混ざってしまいます。
それに加え、参考書の答えと比較し,　ではaは１なのかとおもい、私の式iiにa = 1を代入して解いてみたのですが、何か具合がよろしくありません。
私のやっていることおかしいでしょうか。
＞おかしくありません。
参考書でAP = BQ = CR = DS = axとしているということは、正方形の1辺の長さaに対するAP,BQ,CR,DSの長さの比率xを計算しているということであり、その比率xが1/2
ということです。一方、質問者さんはAP,BQ,CR,DSの長さそのものをxとして計算しているので、その長さxがa/2となっています。ですから仮にa=1の正方形であれば、
参考書のxはx=a/2=1/2、質問者さんのxもx=1/2で、同じになります。

また、問題を解いていて思ったのですが、a = a^2　となる数字は１しか存在しませんか。
＞この問題には当てはまりませんが、a=0もa=a^2になります。

最初から1を代入するのではなく、aやa/2を代入して、解いてからグラフ上でa = 1を代入すると上手くいくように思えるのですが、これはいったいどういうことなんでしょう。
＞最初からa=1を代入すれば参考書の式(2)と質問者さんの式iiは同じ式になり、上手くいかない理由は見当たりません。

お礼

詳しく解説して下さってありがとうございました！
とてもすっきりしました！

回答No.1

asuncion

参考書の解答では
＞AP = BQ = CR = DS = ax
とおいていて、
＞参考書の解説では最小値のときの値が、x = 1/2
こうなったのですから、
結果としてはAP=a/2となって、
質問者さんが
＞AP = BQ = CR = DS = x
とおいて導かれた
＞最小値　a^2/2 のとき　x = a/2
と何ら変わらないように見えます。