高校物理：水平方向に打ち出す玉の落下問題

質問

高校物理の問題です。重力が作用する空間で玉を水平に打ち出す問題ですが、ｘ方向、y方向の運動方程式と初期条件で簡単に解を得ることができます。力学の初等的なおなじみの問題ですね。

　その玉の運動を軌跡の接線方向と法線方向に分けて考えるとどうなるでしょうか。

　求解というより、解が求まった後で考察する、すなわち、軌跡が既知として考えます。この場合、曲がった線分上を玉が移動するので、遠心力がかかりそうです。重力は下向きですが、接線成分、法線成分ともに重力項が含まれるはずなのでその法線成分と遠心力がバランスして法線方向の運動がなくなるということかなと思いますが、そういうことになるでしょうか。

また、そのような座標系で求解可能でしょうか。接線方向の方程式は簡単ですが、法線方向の方程式が難しいと思います。重力の法線方向成分はわかります（初期は水平に打ち出しなので重力そのもので、落下に従って軌跡は鉛直の直線に近づくので法線方向重力成分、遠心力ともにゼロに漸近）が、遠心力（曲率半径とか曲率中心がわからないと計算できない？）をどう計算するかが難しいですが。特に初期に水平に打ち出したときに玉に作用する遠心力が計算できるものなのでしょうか。

※これはyahoo知恵袋でも質問しておりますが、回答者の方とご相談できる可能性があるこちらにも上げさせて頂きました。ダブルポストになるでしょうか。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

ANo.1です。

実り無いことを書いていたのは僕の方でした(^^;

「事象を記述するための座標系をどのように設定するか」から始めなければなりませんでした。

水平方向と鉛直方向に座標軸が伸びるデカルト座標の下での考察をするのが、高校での水平投射の解き方。とてもスッキリした解法を提供してくれます。

もっと違った座標系、たとえば、動径軸ｒと回転方向軸θで記述する極座標でも記述が可能です。（でも、ｒ軸方向，θ軸方向共に、変化する力が有り、運動方程式も、いたずらに複雑になるだけで、この場合には、あまり適切な座標系とは言えないと思います）

しかし、任意の時刻で、軌道の接線方向と法線方向とを直交する２軸として持つ座標系は適当なものが見つかりません。極座標と勘違いしてしまいそうですが、ANo.1の添付図に示し、質問者さんも、O点位置の不確かさを指摘なさっているように、O点は定点ではありません。

>問題が複雑になる理由は、曲線座標でかつ、その曲線形も決まっていないという
>ことだと思います。
>座標軸が解に依存するというのは問題として正しいのかな

と書かれているのは、上の事情を指しているのでしょう。

>玉の運動を軌跡の接線方向と法線方向に分けて考える

このこと自体は、ANo.1で試みたように、考察することは可能ですが、そこから議論を発展させることは期待できません。つまり、
Ｐ点での接線方向には、
　ｍ・α＝ｍｇ・cosθ
法線方向では
　ｍｇ・sinθ＝ｍｖ^2/ｒ
と定式することはできても、この情報から、その直後の運動（たとえば、ｔ[s]後の、位置，速度）を導出することはほとんど期待できません。

回答No.1

Quarks

>軌跡が既知として考えます。この場合、曲がった線分上を玉が移動するので、遠心力がかかりそうです。
（略）
>重力項が含まれるはずなのでその法線成分と遠心力がバランスして法線方向の運動がなくなる

軌道（放物線）は、添付図のＰ点付近のごく短い部分を考える時には、円として近似できますから、Ｐ点付近では、Ｐ→Ｏ方向の向心力（重力の法線方向成分がその役割を担っています）を受けて、半径ｒの円運動をしている、と解釈できます※。
でも、これはＰ点付近での話で、実際の運動に伴って、"半径"はどんどん変化します。つまり、"法線方向の運動は静止"とは言えないのです。

※もちろん、遠心力と、重力の法線方向成分とが釣り合っていると解釈することも可能です。

Ｐ点での重力の接線方向の分力は０ではありませんから、接線方向にも加速度が生じます。つまり、接線方向には加速度運動するわけです（「接線方向には等速運動」と解釈することはできないということです）。

>また、そのような座標系で求解可能でしょうか。

解けないことはないかも知れませんが、とても面倒なことになるだろうということは予想できます。
率直に言わせてもらえば、苦労が多いわりには、得られることは少ないでしょう。

お礼

回答有難うございます。図まで書いて頂きありがとうございました。

この問題で、OP間の距離R（＝円の半径、あるいは点Oの座標と言ってもいいですが）をどう決めるかという問題があります。放物線に接する円は無限にあるということになるのではないでしょうか。
遠心力はmRω^2=mv^2/R ですね。だから、遠心力と重力の法線成分が釣り合うように決めるということでしょうか。R以外は既知になっているということですが。

この問題では初期条件（水平方向の射出速度が与えられている）での遠心力も考える必要がありますが、この時はmgと釣り合っていると考えるのでしょうか。そのようにRを決めるということですが。

このように考えて問題が複雑になる理由は、曲線座標でかつ、その曲線形も決まっていないということだと思います。座標軸が解に依存するというのは問題として正しいのかなという気持ちにもなりますが。