ポアソン分布について

質問

※長文です。すべてに解答できない場合は，特に★★★★★より後の部分についてだけでも教えてください。よろしくお願いします。

テキストでは二項分布からポアソン分布を導いています。
二項分布は，
・各試行の結果，Aかその余事象aのいずれかが必ず起こる
・各試行は独立である
・各試行におけるAの生起確率Pr{A}は常に一定でpである
を満たす試行をN回行った時，Aの発生回数Xの確率分布です。
ここからNp＝λ(＝const.)を維持しながらN→∞の極限を考えることで，ポアソン分布を導いています。これは次のような理解でよろしいでしょうか。すなわち，
箱の中にN個の玉が入っていて，赤が１個，黒がN-1個の内訳になっています。ここから１個取り出したとき，それが赤である事象をAとすると，Pr{A}=1/Nです。そして取り出した玉を戻して，何度も同じ試行を行うと，
・各試行で必ずA(赤が出る)かa(黒が出る)が起こる
・各試行は明らかに独立である
・各試行においてPr{A}=1/N=p(一定)である
を満たし，ベルヌーイ試行列を成します。ここでpNを一定値1に保つ場合を考えると，任意のNに対して，p=1/Nでなければならないので，結局，Nをnだけ増すとき，赤玉は1個のままで黒玉をn個増せば，p=1/(N+n)となり，pN=1を維持します。よって，pN=1を保ちつつN→∞とすることは，書き方は不正確かもしれませんが，感覚的には赤玉1個，黒玉無限個，試行回数無限回ということでいいでしょうか。そして，

『この試行で赤を3回取り出す確率を求めよ。』は，Pr{X=3}=exp(-1)×1^3/3!=1/6eということですか？

逆に，以上の問題において，Aは赤が出る事象ですし，pは赤が出る確率です。では，以下の問題はポアソン分布と関係があるそうなのですが，事象Aと確率pが何に相当するのかがわかりません。

★★★★★
ペトリ板の細菌の集落を顕微鏡により観察し，円形の視野に正方形の網の目をかけ，各正方形の区画内の細菌集落数kを数える。その結果を以下に示す。各kに対する正方形の数が観測度数である。
k:=正方形内の細菌集落数　f:=観測度数 Np:=理論度数
k　f　Np
0　5　 6.1
1 19 18.0
2 26 26.7
3 26 26.4
4 21 19.6
5 13 11.7
6　8　 9.5

各区画内を順番に検査することを試行ととらえて，そこに集落がある事象をA，その確率をpとすると考えると，集落がたくさんある区画の説明がつきません。集落がない事象をA，1個ある事象をB，2個ある事象をC，…としていくとこれはベルヌーイ試行列ではありません。この問題において，
・そもそも何を試行としているのか
・そしてその試行のもとで必ず起こるA，aはそれぞれ何か
という点が全く分かりません。どのように解釈すればこの問題はポアソン分布と関係する問題なのでしょうか。

長くなってしまいましたが，よろしくお願いします。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

後半についてお答えします。
>各区画内を順番に検査することを試行ととらえて
各区間（正方形）をさらに小さなN個の小区間に分けます。（その小区間では集落はせいぜい1個発生するくらいの小ささ）
で、その小区間で集落が発生する事象A,発生しない事象をaとします。
すると、元の区間での集落数はポアソン分布に従うと考えられる。　ということです。
通常ポアソン分布の説明では、時間がよくでてきますが、この例では空間ですね。

お礼

なるほど…
ということは区画のうちの一つを区画1と名付けてその中を極めて細かく区切ってその一つ一つについて検査するのが試行でそこに集落がある事象がAなのですね。そして各区画には表の通り数個オーダーしか集落はないので、更に細かく区切った微小面積に集落がある確率は極めて小さく、かつ試行回数は微小面積の個数分、つまり極めて多いので、区画1内でAaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaAみたいな試行列になって、区画1内に集落がk個ある確率がポアソン分布に従うと言うことですね。そして他の区画にも同じことを施してまてめたのが質問に示した表ということですか。

では表から一つの区画に期待される集落数kが、期待値λであり、
exp(-λ)×λ^k / k!

が一つの区画内にk個の集落がある確率になると思うのですが、これかける調べた区画数がポアソン分布を仮定した理論度数ということでよろしいのでしょうか？

それにしても顕微鏡視野よりも小さい区画を更に細かく区切るとは思いもよりませんでした。テキストの説明ェ

回答No.9

ramayana

はい、着地点が見えました。

[1] 観測データがポアソン分布からの標本とみなしてよいか。

[2] もし、ポアソン分布からの標本だとすると、パラメータλを如何にして推計するか。

[3] 何を二項分布の試行とするか、Aやaは何か。

[4] 観測データがポアソン分布からの標本となるべき理由があるか。

問題点を上のように整理すると、質問者さんが求めているのは、[1]、[2]、[3]だということですね。

まず、[2]については、すでに答が出ているように、総集落数／区画数 がλの最尤推定量ということですね。

[1]については、λの推計値を使って「理論値と観測値との差が示された表の数値以上に大きくなる確率」を計算できるので、この確率を使って、「観測データがポアソン分布からの標本である」という帰無仮説を検定できそうです。

[3]については、（また議論になりそうなので読み流してください）二項分布とポアソン分布の関係にこだわるのは生産的でない、というのが持論です。したがって、Aやaが何かを考えるメリットが乏しいと思っています。

なお、空間的か時間的については、[1]や[2]を考えるのに不必要なので、もう議論はいらないないでしょう。

回答No.8

MagicianKuma

平行線のようですね（笑）
>潜在的な可能性が、ポアソン分布に従っているということです。
まったくその通りです。あくまで母集団に対してある確率分布を考えるわけです。質問者さんももちろん承知していることだと思いますよ。
>そして、潜在的な可能性の分布を議論するためには、目の前の観測値だけでなく、それが生成された背後の事情にまで考察を広げる必要があるのです。
まったくその通りです。でも質問者の質問意図はそこにありません。

これこれのデータが与えられた、どう解釈したら、このデータの母集団をポアソン分布と関係するのか？
時間的なポアソン分布と仮定するなら、データからλ（平均時間当たりの発生回数）が推定できなくてはなりません。できますか？　どういう式になる？
提示されたデータからは、母集団がポアソン分布と解釈するには、空間的（λは単位面積当たりの発生回数）なポアソン分布と想定する以外に道はないという見解です。
本当は、別の解釈もできます、これは時間的なポアソン分布がエルゴード仮定が成立するとして、空間的に現れているとも取れる。時間的なポアソン分布のパラメータλを推定するには、別の実験・測定が必要だ。ということではないでしょうか？

回答No.7

ramayana

平行線のようですね。

確認しておかなければならないのは、観測された区画数（118）や細菌集落数（346）が有限個だということです。有限個のデータが、無限の値を取り得るポアソン分布になることは、ありえません（近似にはなるかもしれませんが）。

ポアソン分布に従っているのは、細菌集落の観測値（＝定数）ではないのです。観測値は、潜在的にいろいろな可能性があった細菌集落数（＝確率変数）のひとつが、たまたま実現したものです。その、潜在的な可能性が、ポアソン分布に従っているということです。

極端な話、区画数がたった1個で、細菌集落数の観測値が0個でもよいのです。区画数は、λパラメータの推計の精度には影響しますが、ポアソン分布かどうかには影響しません。

そして、潜在的な可能性の分布を議論するためには、目の前の観測値だけでなく、それが生成された背後の事情にまで考察を広げる必要があるのです。

補足

集落発生には観察以前に支配法則が既に存在するのでしょう。そして区画を何個取ろうと、その支配法則が変わることはありません（何度実験しても得られるデータはばらつくでしょうが、運動法則そのものは変わらないように）。ですから区画を一個だけ取っても潜在的に決まっている分布は変わらないけれど、データは一個しか得られません。問題でやっていることは、これがポアソン分布と見なせるか？であり、だからこそ観測度数と理論度数を併記して比較しています。そのためにはデータはいくらか多くとらないといけません。そして比較の結果、ポアソン分布とみなせると分かればそこから法則などを考えていくのではないのでしょうか（実際の手順は知りませんが）。実際比較してみると、どうもポアソン分布に近いように見えるので、では、Aとpをどう解釈すればポアソン分布の問題となるかが質問の趣旨でした。ここではマジシャンくまさんの
A.一区画内を多数の微小面積に分割し、それを順次検査していくとき、微小面積に集落を見いだす事象
p.その確率
が正しいように思います。実際の分布はどうあれとりあえずこのような方法で観測してみると、どうやらポアソン分布であるようだと。ここから、集落発に関する生空間的時間的法則が見えてくるのではないかと思います。で、その過程がポアソン過程であると。

回答No.6

MagicianKuma

質問者の質問を再度見直してみますね。
>どのように解釈すればこの問題はポアソン分布と関係する問題なのでしょうか。
ペトリ板の細菌の集落の発生がどんなメカニズムかは分かりません。数学ではないでしょう。
質問者の質問は、「どう解釈すれば」ポアソン分布と関係するのでしょう？です。
で与えられたデータが空間的なデータです。これを解釈するに時間を持ってくる余地はありません。
繰り返します。自然科学的にどういう確率モデルを想定するのが妥当でしょうか？という質問ではありません。

補足

はいその通りです。

発生過程の時間的性質も当然あるでしょうが、まずはそんなことは抜きにして、空間分布を調べ、空間的にポアソン分布か調べるのが本問の主旨で、データの取り方もあなたの仰るように空間的にとっており、時間的側面は見ていませんのであなたの最初のご回答が正しいように思います。あと間違えて別の補足にここから空間的時間的性質を考察できると書きましたが、間違いですね。たとえば一瞬で同時にすべてが発生して、時間的にはポアソン分布をなさないけれど、空間的にはポアソン分布をなしているようなことも考えられるので。そういう意味でこのデータからはそもそもも時間に関して何ものもわからないので、時間の入り込む余地はなさそうですね。実際には時間的にもポアソン分布をなすのではないかと思いますが

回答No.5

ramayana

微妙な話になってきてしまいました。

こういうことを考えてみましょう。仮に、ある範囲の空間的な広がりに、点（細菌集落とは限らない）をちりばめたとします。さらに、その広がりを区画に分けて、区画内の点の個数を数えたとします。このようにして得られた個数がポアソン分布に従う必然性がないのは、明らかです。

ANo.4さんのように「細菌の集落数Nは多数」「区画はペトリ板に対し非常に狭い」「集落はそれぞれどの区画にも同程度の確率で在り得る」という条件を付けても、ポアソン分布に従わないようにちりばめることは可能です。

一方で、細菌集落については、ポアソン分布に従うと考えられるということです。もし、そうなら、細菌集落には、単なる点の散らばり以上の背景を想定する必要があります。それで、細菌集落の発生がポアソン過程に従うという想定が自然だろう、というのが、ANo.2の趣旨です。

補足

同数の細菌集落を意図的に配置すれば、各微小面積で集落が見いだされる確率は変わりませんが、極端に偏らせた場合は、ポアソン分布に従わないというのはわかります。同じように、つの集落が出来たときに、そのまわりだけ発生率が極端に上がったりすれば別の分布になりますが、そうはならず、ポアソン分布をなすのだから、それなりの発生過程なのだろうということですか。

回答No.4

noname#227064

ペトリ板上の細菌の集落数Nは多数あるはずです。（N→∞）
また、顕微鏡視野内の区画はペトリ板に対し非常に狭いはずです。
そして、N個の集落はそれぞれどの区画にも同程度の確率で在り得ると考えられ、その確率pは
p = 顕微鏡視野内の正方形の面積/ペトリ板上で細菌の集落がある範囲の面積
となるでしょう。（p→∞）
このとき、ある区画の集落数はパラメータがNpであるポアソン分布に従うと考えられます。

というだけの話では？
厳密には各区画の集落数は独立ではないですが、ほとんど無視できるかと思います。

回答No.3

MagicianKuma

>区画1内でAaaaaaaAaaaaaaaaaaaaaaaaaAみたいな試行列になって、区画1内に集落がk個ある確率がポアソン分布に従うと言うことですね。そして他の区画にも同じことを施してまてめたのが質問に示した表ということですか。
その理解でOKです。
>では表から一つの区画に期待される集落数kが、期待値λであり、exp(-λ)×λ^k / k!　・・・これかける調べた区画数がポアソン分布を仮定した理論度数ということでよろしいのでしょうか？
OKです。
上記例では、λ≈Σ(ki・fi)/Σfi　　分子は全集落数、分母は正方形の全数

>No2さんへポアッソン分布はまれにしか起きない確率現象を説明するのによく使われますが、この「まれ」は時間的にまれだけでなく空間的にまれの場合もあります。
また、エルゴード仮定を認めれば、時間平均は空間平均とみることもできます。
この実験をまともに時間的ポアッソン過程として測定しようとすれば、空間の1点を定点観測しつつ時間的な発生を追う必要があります。与えられた表はそういったデータではありません。

回答No.2

ramayana

やっぱり、これは、時間経過との関係でポアソン分布とみなすのが素直でないでしょうか。

ポアソン分布が二項分布の極限になることは、事実です。しかし、二項分布との関連にこだわるよりは、次のように整理する方がすっきりすると思います。

(ポアソン過程）

時間の経過とともに、偶然に左右されながら、事象が何件か発生するケースを考えます。もし、発生の過程が、次の[1][2][3]を満たすなら、「ポアソン過程」と称されます。

[1]　　どの期間においても、その期間内に発生する件数は、過去にいつごろ何件発生したかとは無関係である。

[2]　　期間の長さを限りなく短くすると、その中で1件以上発生する確率は、限りなく0に近づく。

[3]　　2件以上同時に発生する確率は、0である。

（ポアソン分布）

ある一定の期間を定めて、その期間にポアソン過程に従って発生する件数をXとします。このとき、X = kとなる確率は、ある定数λを使って、次のように表せられることが知られています。

[4]　　Pr( X = k ) = e^(-λ)λ^k / k!　　（kは0以上の整数）

この[4]式で表される分布のことを「ポアソン分布」と称します。

（ペトリのケース）

ペトリのケースをみます。ある時点で観測される細菌集落の個数は、実験開始からその時点までの細菌集落の発生件数とみなすこととします（一度発生した細菌集落の消滅は無視するということ）。細菌集落の発生の過程が[1][2][3]を満たすなら、細菌集落の個数は、ポアソン分布に従います。

多分、[2]と[3]は、問題なく満たされます（現実問題として、これらを満たさないケースを見つける方が難しい！）。[1]が満たされるかどうかは、やや疑わしい面があります。しかし、実用上は、時点間の相互関係が強くなければ、ポアソン分布で近似することが許されるでしょう。

（参考）

実は、上の[1][2][3]は、厳密でありません。正確には、次の条件です。専門用語が出てきますが、興味があったら調べてみてください。

[1]'　　加法過程である。
[2]'　　確率連続である。
[3]'　　確率1で、見本過程が飛躍1の右連続階段関数になる。

文献：
http://www.amazon.co.jp/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-%E4%BC%8A%E8%97%A4-%E6%B8%85/dp/400007816X