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数学Bの問題が分かりません！

ベクトルa,ベクトルbに対し、ベクトルOP=ベクトルa+2ベクトルb, ベクトルOQ=-2ベクトルa+ベクトルb,ベクトルOR=4ベクトルa+3ベクトルb とするとき、３点P Q Rは一直線上にあることを証明せよ。 △ABCにおいて辺ABの中点をP、辺AC を３：２に内分する点をQ、 辺BCを３：２に外分する点をRとする。 このとき３点P Q Rは一直線上にあることを示せ。 この２問がどうしてもとけません！ 意味が分からないです。 よろしければ、解説つきで説明していただけると助かります。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.3

ベクトル記号は省略します。 点Ｐ、Ｑ、Ｒが一直線上にあるということは、 ＰＱ＝ａＰＲ　（ａは実数） と表わされるということです。 一問目 　 ＰＱ＝ＯＱ－ＯＰ 　　＝－３ａーｂ ＰＲ＝ＯＲ－ＯＰ 　　＝３ａ＋ｂ よって ＰＱ＝－ＰＲ　なので点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。 二問目 　ＡＰ＝ＡＢ／２ 　ＡＱ＝３ＡＣ／５ なので、 　ＰＱ＝ＡＱ－ＡＰ 　　　＝－ＡＢ／２＋３ＡＣ／５ また、 　ＡＲ＝ＡＢ＋ＢＲ 　　　＝ＡＢ＋３ＢＣ 　　　＝ＡＢ＋３（ＡＣ－ＡＢ） 　　　＝－２ＡＢ＋３ＡＣ なので 　ＰＲ＝ＡＲ－ＡＰ 　　　＝－５ＡＢ／２＋３ＡＣ よって 　ＰＲ＝５ＰＱ となり、点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。

その他の回答 (3)

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.4

第1問 ＞ベクトルを↑で表します。 QP↑=OP↑-OQ↑=a↑+2b↑-(-2a↑+b↑)=3a↑+b↑ QR↑=OR↑-OQ↑=4a↑+3b↑-(-2a↑+b↑)=6a↑+2b↑=2QP↑ すなわちQP↑の大きさを2倍にしたベクトルがQR↑なので、 3点Q P Rは一直線上にある。 第2問 △BCQの面積をSとすると、△CRQの面積は2S、 △ABQの面積=△BCQの面積*(3/2)=3S/2、 △APQの面積=△BPQの面積=△ABQの面積/2=3S/4 △AQRの面積=△CRQの面積*(3/2)=3S △APQの面積＋△AQRの面積=3S/4+3S=15S/4 △ABRの面積=△ABQの面積+△BCQの面積+△CRQの面積+△AQRの面積 =3S/2+S+2S+3S=3S/2+6S=15S/2=2*(△APQの面積＋△AQRの面積) 以上より、△APQの面積＋△AQRの面積は△ABRの面積の1/2となって おり、AP=BPより、直線PRが△ABRの面積を二等分することから、 点Qは直線PR上にあるといえる。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.2

設問2 原点をOとする。このとき、 OP→=(OA→+OB→)/2 …… (1) OQ→=(3OC→+2OA→)/5 …… (2) OR→=3OC→-2OB→ …… (3) (1)×4より、 4OP→=2OA→+2OB→ …… (4) (3)+(4)より、 4OP→+OR→=3OC→+2OA→=5OQ→ OQ→=(4OP→+OR→)/(1+4) より、点Qは線分PRを1:4に内分することがわかる。 よって、点P,Q,Rは一直線上にある。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.1

とりあえず設問1 PQ→=OQ→-OP→=(-2a→+b→)-(a→+2b→)=-3a→-b→ PR→=OR→-OP→=(4a→+3b→)-(a→+2b→)=3a→+b→ よって、PR→=-PQ→ このことから、点Rは、点Pをはさんで点Qのちょうど反対側にあることがわかる。 よって、点P,Q,Rは一直線上にある。 厳密な証明かどうかはわかりません。

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