確率統計の分散についての質問です。

質問

英語の統計学の本の内容を授業で説明しなければならないのですが、理解できない個所がありました。

たくさんあるりんごの中からりんごを選んで重さを計る例についてです。
母集団を
Y（整数に四捨五入されたみかんの重さ）＝X（みかんの実際の重さ）＋γ（Xを整数にするための量）
目盛りの単位をh（hは1グラム）で、
γは区間[-h/2, h/2]に一様分布しているものとします。

そして、Var[γ]=h^2/12、E[γ]=0と書いてあります。

次に
Under quite wide assumption regarding the distribution of X,it(Xの分散) can be shown that
とあり、

Var[Y]≒Var[X]+h^2/12　　　…(1)

とあるのですが、「≒」が使われている理由が分かりません。

自分の考えでは
V[Y]
=V[X+γ]
=E[((X+γ)-E[X+γ])^2]
=E[(X-E[X])^2]+E[(γ-E[γ])^2]-2E[(X-E[X])(γ-E[γ])]　　　…(2)

ここで、(2)式の1項目がVar[X]、2項目がVar[γ]=h^2/12であり、
γが一様分布なため確率変数Xとγが独立であり、3項目が0になると思うのですが、
その場合、(1)式の「≒」の説明がつきません。

統計学について詳しい方がいらっしゃれば、(1)式の「≒」の意味と私の間違いを指摘
していただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#227064 · ベストアンサー

#1さんと#2さんが回答されているように、Xとγは独立ではありません。
X = 300.6
ならば
γ = 0.4
Y = X + γ = 300.6 + 0.4 = 301
というようにγの値はXにより決定されます。

しかし、その統計学の本の表記は本当に

> Var[Y]≒Var[X]+h^2/12　　　…(1)

と書かれてあるのですか？
私にはXとYが逆のような気がするのですが・・・

以下、
Var[X]≒Var[Y]+h^2/12
の書き間違いであったとして、どうしてこういう式になるのか説明します。

りんごの重さの分布の確率密度関数をf(x)とします。
りんごの重さは整数に四捨五入されるのでf(x)はわかりません。
四捨五入されたりんごの重さがy gになる確率p(y)は
∫_{y-1/2}^{y+1/2} f(x)dx
で求められます。
今知りたいことはVar[X]なのですが、わかるのは
E[Y] = Σ_{y} yp(y)
Var[Y] = Σ_{y} (y - E[Y])^2 p(y)
だけです。
そこで、整数yの±1/2の区間の確率密度がp(y)である分布でf(x)を近似することを考えます。
この分布の確率密度関数をg(z)とすると、
V[X] ≒ V[Z] = E[(z-E[Z])^2]
= ∫(z-E[Z])^2 g(z) dz
= Σ_{y} ∫_{y-1/2}^{y+1/2} (z-E[Z])^2 g(z) dz
= Σ_{y} (∫_{y-1/2}^{y+1/2} (z-y)^2 g(z) dz + ∫_{y-1/2}^{y+1/2} (y-E[Z])^2 g(z) dz + 2∫_{y-1/2}^{y+1/2} (z-y)(y-E[Z]) g(z) dz)
= Σ_{y} (g(y)/12 + ∫_{y-1/2}^{y+1/2} (y-E[Y])^2 g(z) dz + 0)
= 1/12 + V[Y]
となります。

お礼

計算のところで分からないとこがあったのですが、教えて！goo を初めて使うものでベストアンサーを決めると書き込みが制限されてしまったので、再度質問させていただきます。
申し訳ありません。

回答No.5

MagicianKuma

よくよく見ると、式（２）の最後の行の3項目は＋が正しいですよ。
=E[(X-E[X])^2]+E[(γ-E[γ])^2]+2E[(X-E[X])(γ-E[γ])]　　　　で更に変形を続けると、
＝V[X]+V[γ]+2E[Xγ]　　ですね。
りんごですから、平均300g、標準偏差10gの正規分布で数回シミュレーションしてみましたが、（標本数10000）
h=1gではV[γ]と比べてE[Xγ]は無視できるとは言えないようです。V[h]=0.083に対して、-0.2から+0.2位の値を取ります。
h=10gとすれば、V[Y]≒V[X]+V[h]　として良いようです。

お礼

式(2)の3項目は確かに＋でした。
ご指摘ありがとうございます。
MagicianKumaさんの独立でないことのご説明はとてもイメージしやすかったです。

他の方へのお礼に書かせてもらっているように質問がよくなかったようで、申し訳ありませんでした。
quaestioさんが詳しくご説明されてるので、今そちらを参考にさせていただいて考え直しています。
ご指摘とシミュレーションまでしていただき、本当にありがとうございます。

回答No.4

noname#227064

ANo.3
最後のところを少し補足します。
Σ_{y} ∫_{y-1/2}^{y+1/2} (z-E[Z])^2 g(z) dz = Σ_{y} ∫_{y-1/2}^{y+1/2} (z-y+y-E[Z])^2 g(z) dz
∫_{y-1/2}^{y+1/2} z g(z) dz = ∫_{y-1/2}^{y+1/2} z p(y) dz = y p(y) = ∫_{y-1/2}^{y+1/2} y g(z) dz
E[Z] = E[Y]
に注意してください。

お礼

図書館でいろいろと参考書を見ても分からなかったので詳しくご説明していただいて本当にありがとうございます。

quaestioさんのおっしゃる通り、式の前の文章では【y+γが整数】と書かれているのです。
しかし、後の文章で【母集団がY=X+γ】と書かれてあります。先入観でγを足しているXが実際の重さとして、上の文章にy+γとあるのにX+γと文字が変わった理由をx+γの書き間違いと解釈してしまい、上のような質問をさせていただきました。
質問の仕方が不十分で本当に申し訳ありません。

母集団は整数に四捨五入された重さではなく実際の重さということでしょうか。
自分がXとYについて今大事な勘違いをしていることが分かりましたので、quaestioさんのご説明を参考にさせていただいてもう一度考え直してみます。

回答No.2

MagicianKuma

No1さんの通りです。γの意味はXを整数化する数値ですから独立ではありませんね。
Xの小数点以下が0.5以上ならγは正、0.5未満ならγは負

回答No.1

alice_44

(2) の計算は正しいと思う。

＞ γが一様分布なため確率変数Xとγが独立であり
↑ がダウト。
γ の周辺確率分布が一様分布であることからは、
X と γ が独立であることは結論できない。

おそらく、問題の状況設定として、
γ の分布が X と「ほぼ」独立と考えており、
その「ほぼ」が、第３項＝0 ではなく 第３項≒0 を
導くのではないだろうか？ …憶測だけど。

お礼

独立であることは他の回答者の方々からもご指摘いただいて間違いだと気付くことができました。

本当に申し訳ありません、質問の仕方が不十分のようで、調べ直しているところです。
また、alice_44さんは質問してすぐに回答をしていただいたので質問した私にとって、気持ちがとても楽になりました。本当にありがとうございます。