行列式の計算について分からないことがあります

質問

A B
C D

A(m×m)、B(m×(n-m))、C((n-m)×m)、D((n-m)×(n-m))
とした時に、Cが零行列の場合に行列式がAとDの行列式の積で表わされるのですが、どのように証明したらいいのかが分かりません。

分かる方がいたら、教えてください。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

大学生の方だと思うのですが、行列式の値は、ガウスの掃き出し法で変わらないという事は、ご存知ですか？。連立方程式を解くために、係数行列を上三角化する、行から行を引いて形を整える方法です。

　次に、上三角行列の行列式の値は、その対角成分の積という事はご存じですか？。

　上記2つの定理を念頭に、

　　A B
　　C D

へガウスの掃き出しをかけ、上三角化する過程を想像します。上三角化が終了すれば、行列式は、

　　Det＝α[1]・α[2]・・・・α[m]・δ[m+1]・δ[m+2]・・・・・δ[n]　　　(1)

になります。α[1]～α[m]は、Ａブロックの対角成分，δ[m+1]～δ[n]は、Ｄブロックの対角成分です。

　Ａ，Ｂブロックの上三角化の掃き出しは、Ａブロックの情報だけで決まります。よってＢブロックに対する掃き出し操作を無視し、Ａ単独を、Ａブロックの情報だけを使って上三角化する事は可能です。その時に対角成分に並ぶ要素は、

　　Det(Ａ)＝α[1]・α[2]・・・・α[m]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

で、これはＡの行列式の値です。

　Ｃブロックはもともと零なので、掃き出し不要です。そこでＤブロックに進みますが、これはＤ単独の掃き出しと同じです。その時に対角成分に並ぶ要素は、

　　Det(Ｄ)＝δ[m+1]・δ[m+2]・・・・・δ[n]　　　　　　　　　　　　　　　(3)

で、これはＤの行列式の値です。

　(1)，(2)，(3)より、

　　Det＝Det(Ａ)・Det(Ｄ)

です。

　後は、減点されないように、多少詳しくまとめて下さい(^^)。

回答No.2

hugen

A=(a1・・・am) [列ベクトル表示]　と　置いて
|A B|
|C D| = f(a1,・・・,am) （ a1,・・・,am　の関数）と観ると
C = Ｏ　　だから　　多重線型　になる.よって
f(a1,・・・,am) = |A|f(e'1,・・・,e'm)

回答No.1

Tacosan

定義に従ってばらす.

のは効率が悪いからどこかの列で展開して帰納法.