• ベストアンサー

摩擦力と運動方程式の立て方について教えてください

高校物理の基礎的な問題で A □→F --------- 「質量mの物体AをFの力で右に引っ張り、床と物体mの動摩擦係数をμ、重力加速度gとした時の加速度aを求めよ」 という問題で、私は運動方程式F=maより F=ma-μmgとし a=(F+μmg)/mとしました。 しかし、回答はF-μmg=maからのa=(F-μmg)/mとなっており 分子のプラスとマイナスの符号が逆でした。 私が最初に思ったF=ma-μmaの式はなぜ間違いになるのでしょうか? わかりやすく教えていただけますでしょうか? よろしくお願いいたします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • ryumu
  • ベストアンサー率44% (65/145)
回答No.5

重要な点を誤解されているかと思います。 F=maを、”「力」は「質量x加速度」と等しい”と数式上は解釈できますが、実は意味が違います。 この解釈では、重大な矛盾が生じてしまうのですよ。 というのも、Fとaの”向き”は、(F,a>0とすると)一致します。 でも、よく考えて下さい。 ma = F + K - Z  (1) という方程式があったとすると(a, F, K, Z > 0とすると)、 まず、aとFは、先ほどと同様、”同じ向き”(<= 良く覚えておいて下さい)です。 さて、右辺に注目すると、FとKは、”同じ向き”、Zは、F(とKとも)”逆向き”を意味しますよね? さて、式(1)を書き直すと、 0 = F + K - Z - ma となりますが、maの符号が(当然ながら)”負”になり、これだと、 Fとaは、”逆向き”ということになります。 これは、最初のaとFが”同じ向き”としたことと完全に矛盾していますよね。 これは、数式上の意味と、物理的意味が異なる事を意味しており、私が物理を教わった頃は、運動方程式のこの"="を、「何故無しイコール」と教えられました。 つまり、上述のような数式上の意味の”矛盾”が生じるにも関わらず、この運動方程式により、自然が明確に説明出来るからです。 自然は、運動方程式を満たすように動いている。しかし、その理由は分からない(神のみぞ知る)。 アインシュタインにより、若干の修正はされましたが、約300年前にニュートンが発見したこの運動方程式により、自然の多くが説明出来ることにはやはり驚きです。 さて、運動方程式はそもそもこのように矛盾があるので、物理的な意味をちゃんと理解しなければなりません。 上記(1)を物理的に解釈すると、 「質量mの物体に、力F, K, Zが作用することで、結果的に加速度aを生じる」 ということになります。 運動方程式を立式するときは、必ず(1)式のように、  「(質量)x(”結果的に生じる”加速度)」を左辺に、「力の総和」を右辺に書く と言うことを、徹底して下さい(別に左辺と右辺を逆にしても数学的には同じなのですが、物理的意味があいまいにならないようにするため)。 この際、符号を間違うと、モロに上記の矛盾に引っかかりますので、運動の向き(つまり座標設定)が特に重要になります(教育の現場でもっと強調すべき点なのですがね)。 さて、この考え方で、質問者様の問題を解くと、”右向きを正にして”(<=向きの設定)、  「(質量)x(”結果的に生じる”加速度)」=「力の総和」 => ma = F - μmg となります。maは、数式上”力”と一致しますが、それ自体は”力”では無い...というのが物理的意味なのです。

clystalmelody
質問者

お礼

う~ん、わかったようなわからないような… >「maは、数式上”力”と一致しますが、それ自体は”力”では無い」 だから同じ"力"同士であるFとμmgを対応させる形で、F-μmgとしなければおかしいというのは 理解できるのですが、じゃあma自体は何なのでしょうか? また、私が間違えたF=ma-μmgで、ma-μmgは引く力であるFと一致しないんですか?

その他の回答 (7)

  • el156
  • ベストアンサー率52% (116/220)
回答No.8

No.2の者です。 ご理解頂けたかどうか心配になりましたので、補足する説明を考えてみました。 物体mの初速を考えて場合分けしてみると理解が深まるのではないかと思います。この問題では動摩擦係数だけで静止摩擦力は記載されていませんから、初速を仮定するのは妥当なのではないかと思います。 物体mの初速がFが引っ張る向きと同じ場合と、その反対向きの場合の2種類を考えます。角度が付いている場合も考えられますが面倒なのでここではやめておきます。物体mの初速がFが引っ張る向きと同じ場合の中で、さらに物体mが加速する場合、初速のまま変わらない場合と、減速する場合とに分類します。物体mの初速がFが引っ張る向きと反対向きの場合は、物体mは減速するしかありません。この範囲では場合分けは4種類です。整理すると次のようになります。 1) 初速はFと同じ向きで物体mは加速 → F>μmg 2) 初速はFと同じ向きで物体mは定速 → F=μmg 3) 初速はFと同じ向きで物体mは減速 → F<μmg 4) 初速はFと逆の向きで物体mは減速 1)~3)の区別はFの大きさに依ります。強い力で引っ張れば加速しますし、力が弱ければ減速します。ちょうどμmgの力で引っ張れば初速のまま定速で動き続けます。加速か、定速か、減速かによって加速度aの符号が変わります。maは慣性力ですからaの符号に合わせて初速を維持しようとする向きに働きます。加速する場合は加速を抑える向きですからFと逆向き、減速する場合は速度を維持ずる向きですからFと同じ向きです。μmgは動摩擦力ですから向きは物体mの速度の向きの反対で、1)~3)では物体mの速度の向きはFと同じ向きですから、μmgの向きはFの向きと逆です。aの符号が慣性力の向きを調整してくれるので、F=ma+μmgの式は1)~3)で共通で済みます。Fとma+μmgとが釣り合うという式だと考えて良いと思います。F-ma-μmg=0と考えても良いです。 4)の場合は式が変わります。減速するのでaは負ですが、この場合初速がFとは逆向きなので慣性力が速度を維持しようとずる力の向きはFの向きとは逆で、aが負なのに向きは1)と同じということになります。1)~3)とはmの速度の向きが逆なので動摩擦力μmgも1)~3)とは逆向きですから、Fと釣り合うのは-ma-μmgです。従いまして4)の場合の式はF=-ma-μmg、或はF+ma+μmg=0です。力の釣り合いを考えるならF+μmg=-maがわかりやすいかも知れません。Fとμmgはmの動きを止めようとします。aが負ですから-maは止めまいとする力になります。 減速して停止した後はFが静止摩擦力よりも大きければ物体mの移動の向きが反転することになりますが、静止摩擦力も提示されていないことですし、ここまでとしたいと思います。

clystalmelody
質問者

お礼

2度のご回答ありがとうございました。

  • ryumu
  • ベストアンサー率44% (65/145)
回答No.7

コメント読みました。 > じゃあma自体は何なのでしょうか? その疑問はごもっともで、それが先の解答で書いた「何故無しイコール」の由来です。 つまり、”なぜだか分からないが、力の総和が(質量)x(加速度)と一致する”ということなんです。 この式で自然が極めて良く説明出来る、というだけのことなのです。 ですから、もしこの式で説明出来ない現象が現れたら、この式が間違いだということになってしまいます。 事実、光速に近い運動では、この式は正しくないことが約100年前にアインシュタインにより示され、修正されました。 その修正された式も、もしかすると今後、さらに修正あるいは否定されることもありえます。 物理に限らず、私たちが現在学んでいることの中には、今後修正・否定される可能性があるものがたくさんあります。 > 私が間違えたF=ma-μmgで、ma-μmgは引く力であるFと一致しないんですか? 先にも書きましたが、向きをよく考えて下さい(何度も言いますが、方向の設定は、物理ではものすごく大事です)。 μmgは、Fに抵抗する方向に働くので、互いに逆向きになります。 しかし、この式だと、同じ向きという意味になってしまいます。  F=ma-μmg <=> F+μmg=ma (Fとμmgの符号が同じ=同じ向き) この間違いを起こしてしまうのは、maを力と考えてしまうからなんです。 数式上は、どうしても力と考えたくなりますが、運動方程式に含まれる意味上の矛盾(maとFは同じ向きなのに、移項すると符号が互いに逆)がある以上、力と考えてはいけないのです。

clystalmelody
質問者

お礼

2度もご丁寧に教えていただきありがとうございます。 F=maに矛盾があるなんて、自分の持っている教科書や参考書に書いていないので全く想像もしませんでした。 そのあたりについて書かれている本などを探して読んでみたいと思います。

回答No.6

まずは,運動方程式というものを理解しましょう。 運動方程式というのはこういう形です。 物体にかかっている全ての力の合計 = 質量×加速度 なので,片方はかならず「質量×加速度」で,それ以外にはなりません。 これをまず,きちんと頭の中に入れてください。 次に, >私は運動方程式F=maより にでてきているFは「物体にかかっている全ての力の合計」の意味です。 これも頭に入れてください。 ところが,質問されている >「質量mの物体AをFの力で右に引っ張り、床と物体mの動摩擦係数をμ、重力加速度gとした時の加速度aを求めよ」 という問題では,おなじFの記号が別の意味に使われています。これが混乱のもとになっているのでしょう。 この問題文では,Fは力の合計ではなく物体に働いている一つの力で, 物体AにはFとその逆向きの摩擦力μmgという二つの力が働いているため, >私は運動方程式F=maより の左辺のF(力の合計)の場所には,この問題のFとμmgの差(逆向きなので)が入ることになり, F - μmg = ma という運動方程式になります。 もう一度書きますが,運動方程式とは, 物体にかかっている全ての力の合計 = 質量×加速度 であることを,きちんと理解してください。

clystalmelody
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。

  • heboiboro
  • ベストアンサー率66% (60/90)
回答No.4

> 私は運動方程式F=maより > F=ma-μmgとし 何故このような式を立てたのでしょうか? 運動方程式の各項の意味を誤解しているのではないでしょうか。 運動方程式は、記号を使わずに書けば (外力)=(質量)*(加速度) となります。 いまの問題で物体にかかっている外力はなんですか? 引っ張る力Fと、摩擦力μmgの合力ですね。 これらは符号が反対ですから、結局外力は F-μmg です ですからこれが運動方程式の左辺になります。 質量は m, 加速度は a ですね。 ですから結局、 F-μmg = ma が運動方程式となります(もちろん左辺と右辺は反対でも構いません)

clystalmelody
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.3

運動方程式に出てくる"F"とは、その物体にかかっている力の総和になります。 今回の問題で運動方程式を立てると (物体Aにかかる重力)+(物体Aにかかる垂直抗力)+(物体Aを引っ張る力F)+(物体Aに働く摩擦力)=ma となります。(ただし、すべての力、加速度aはベクトルです。) 運動方程式にある"F"と引っ張る力"F"は同一のものではありません。同じ記号を使っているため勘違いしないようご注意ください。

clystalmelody
質問者

お礼

力の総和のFと、引く力のFを同一にとらえていました。 ご回答ありがとうございます。

  • el156
  • ベストアンサー率52% (116/220)
回答No.2

定速で引っ張る場合であっても力は必要ですから、aがゼロの時Fの符号は正でなくてはなりません。物体を定速で動かす為には、Fに動摩擦力と同じ力を与える必要があるということです。

clystalmelody
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

加えた力Fと摩擦力μmgは方向が逆向きになるので、符号を逆にする必要があります。つまり F-μmg という具合に。

clystalmelody
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。

関連するQ&A

  • 高校物理、運動方程式に関して

    運動方程式はma=Fですが、 参考書にmには、着目している物体のみの質量を書くこと。と注意書きがされてあります。ですが、何かこんがらがってきました・・・ 運動方程式の問題集をとくと、以下のような問題がありました。 なめらかな床の上に、質量Mの板Aと質量mの物体Bが重ねておかれている。 板Aと物体Bの間は粗く、その静止摩擦係数はμ、動摩擦係数はμ'であるとする。加速度の正の向きを右向きとする。 (1)板Aを大きさF1の力で右向きに引いたら、板Aと物体Bは一体となって加速度a1で動いた。a1を求めよ。 一体となって動いたとのことより一つの固まりとしてみて上記の運動方程式の注意書き通り、AとBを一つの物体として着目して解きました。 答えはa1=F1/M+m ここまではOKですが、次の問題が全然納得いきません。 (2)板Aを大きさF2の力で右向きに引いたら、物体Bは板Aの上を滑り始めた。そのときの加速度a2とF2を求めよ。 まず、問題文の意図より、物体Bはすべる直前と考えることができます。 次に加速度に関しては床からみることもOKです。 問題集の解答によると、 A,Bの運動方程式は A: Ma2=F2-μmg B: ma2=μmg よってa2=μg 以上よりMμg=F2-μmg F2=μ(m+M)g が答えとなります。 ここでなぜma2=μmgでなくma2=F2としてはいけないのでしょうか? 床からみれば物体BはF2にひっぱられているのと同じですし、 今回は動摩擦力は働いていないのでAとBは同方向へ同加速度で移動していると考えたらma2=F2と式をたててもいいような気がするのですが・・・ もちろんこう式をたてたら答えが合わないので訳が分からなくなって質問させていただきました。 図を見せることができないのでわかりにくいかもしれないですがよろしくお願いします。

  • 重ねた物体の運動~考え方~

    問題の考え方が分からないので、教えてください。この文章だけからは正確な情報は読み取れないかもしれませんが、考え方だけなので大体で大丈夫かと思います。すみません。 水平な固定面の上に平板が置いてあり、その上に物体が置いてある。右向きに水平に加速していくと、平板の加速度がaになったとき、物体が開いたの上を滑り始めた。物体と平板の間の静止摩擦係数を求めよ。ただし重力加速度の大きさをgとする。 考え方 物体が滑り始める直前にこの物体は加速度aで運動していると考えられる。このときは最大摩擦力を受けている。物体の質量をm、静止摩擦係数をμとおくと、運動方程式はma=μmg これを変形。 まず、「物体が滑り始める直前にこの物体は加速度aで運動している」と言うのが分かりません。加速度aで運動しているならすでに滑っていますよね。 また、「物体の質量をm、静止摩擦係数をμとおくと、運動方程式はma=μmg 」とありましたが、この式もma=Fから、立てたことは分かりますが、よく分かりません。このma=μmgの右辺は最大静止摩擦力ですか? もしそうなら、最大静止摩擦力は静止摩擦力係数と何の関係があるのでしょうか。基本的なことも交えて、分かりやすく、教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

  • 動摩擦力の問題について

    あらい水平面上で質量mの物体をすべらせる。運動の向きを正の向きにとり、重力加速度の大きさをg、動摩擦係数をμ´とすると、加速度はa=-μ´gで表されることを示せ。 上の問題についてですが、運動方程式は ma=-μ´N となりN=mgなので a=-μ´g となるそうですが、 何かの力が働いて物体が滑っているわけなので、動摩擦力よりmaは大きくなりませんか?なぜイコールで表せるのですか? 動摩擦力と同じ大きさで逆向きの力を加えたとしても物体は動かないと思うのですがどうでしょう?

  • 運動方程式 入試問題?

    水平面上に置かれた質量Mの箱Qの中に質量mの小物体Pを入れ、静止状態から箱に外力Fを水平右向きに加えて運動させる。PとQの間の静止摩擦係数をμ0、動摩擦係数をμとし、Qと水平面の間の動摩擦係数もμとする。重力加速度をgとする。 まず、F=F0のとき、P,Qは一体となって運動した。 (1)加速度を求めよ。 a=F0/(m+M)-μg (2)PがQから受ける摩擦力の大きさfを求めよ。 f=ma=m(F0/(m+M)-μg) 添付画像のように考えると、作用・反作用よりμR=μ(m+M)gになってしまいます。 それともμ(m+M)g+μmg?(μmgも作用・反作用) どちらも違いますが、とにかく答えに導くことができません。

  • 物理の問題です。宜しくお願い致します。

    大問2の(1) (2)を教えてください。 問題2 図のように水平な床の上に質量Mの台Aがあり、その上に質量mの物体Bがある。 物体B側面に軽くて細い糸がついており、手で引くことができる。床と台Aの間と台Aと物体Bの間には、それぞれ摩擦力が働くとする。ただし、M>mであり、重力加速度も大きさをgとする。 (1) 糸を手で引いて物体Bに水平な力を加え、その大きさがFの時台Aと物体Bは一体となって動いて、床と台Aの間には大きさf1の動摩擦力が働いている。台Aと物体Bの加速度の大きさを表す式として正しいものを(1)~(6)から一つ選びなさい。 (1)F-f1/m (2)F-f1/M+m (3)F+f1/m (4)F+f1/M+m (5)F/M+m/-f1/m (6)F/M+m+f1/m (2) (1)の状況でf1を表す式として正しいものを次の(1)~(5)の内から一つ選べ、ただし床と台Aの間の動摩擦係数をμとする。 (1)μMg-MF/M+m (2)μMg-mF/M+m (3)μMg (4)μ(M-m)g (5)μ(M+m)g

  • 高校の物理 運動方程式の立て方について

    動摩擦力μの床に、画像のx=0のところで自然長になるバネ(バネ定数k)がある。 バネの先端には質量mの物体がつなげてあり、x1縮めて物体から手を離した。 重力加速度をg、加速度をaとして 0<x<x1を満たす位置xでの物体の運動方程式を立てろ。 という問題なのですが、 その答え、 ma=-kx+μmg  に、なんとなく納得できません。 加速度の向きは合力の向きですよね? -kxもμmgもx軸方向なのに、加速度は-x軸方向を向いている… すっきりしないので解答お願いします。

  • 運動方程式の問題です。

    なめらかな水平面上に質量Mの板Aをおき、その上に質量mの物体Bを載せる。板Aに右向きに力を加えて加速させる。AとBの間の静止摩擦係数をμ、動摩擦係数をμ’、重力加速度をgとする。 問・加える力の大きさがFのときBはAのウエをすべることなく一体となって加速した。加速度はいくらか。 a=F/(M+m) 問。加える力の大きさがある値を超えるとBはAのうえをすべりだす。 この値はいくらか。 一つ目は分かったのですが次が分かりません。 解答には Bに働いている力を運動方程式で表す。 水平方向:ma=R(a:加速度、R:AB間に働く力) (1) 鉛直方向:0=N-mg  (N:Aからの垂直抗力)      (2) Aに働いている力を運動方程式で表す。 水平方向:Ma=F-R               (3) 鉛直方向:0=T-N-Mg(T:床からの垂直抗力) (4) T=(M+m)g (1)(3)よりR={m/(m+M)}F R>μN=μmg ←(AB間に働く力が最大摩擦力より大きくなったときBはすべる) なので R={m/(m+M)}F>μmg ∴F>(m+M)g と書いてあったのですが、 なんでR={m/(m+M)}Fになるのかよく分かりません。 お暇な方回答よろしくお願いします

  • 運動方程式

    m   T1   m  T2  m □―――□―――――□―――――→F (a)   (b)       (c) 上記のように、物体(□)をひもでつなぎ力Fで引っ張る。 動摩擦係数はμkとする。 1)(a)に働く摩擦を求めよ。    は、f=μk・mgになる。 2)(b)a,b、cの3つの運動方程式を立てよ。    は、a)T1-μk・mg=ma b)T2-T1-μ・mg=ma    c)F-T2-μk・mg=maになる。まではわかったのですが。 3)T1,T2を使わずに力Fを表せ。   ここです。まず、T1,T2を消去していくのですが、いつもここで間違います。簡単な方法、やり方をお教えください。

  • 運動方程式について

    運動方程式について 運動方程式F=ma(ma=F)について質問があります。 個人的に理解を深めようと、 運動方程式に関する様々なHPを閲覧しているのですが、 ところどころで、F=maについては、 a=F/m や、m=F/a と変形することは誤りだ、 という記述が見られます。 これが意図することは、そもそもその式が成立せず、 正しい値が導けないという意味なのか、 それとも、そのような変形は、 運動方程式の理念のようなもの(?)に反するため、 行うべきではないということなのでしょうか。 そして、もしこのような変形が行われるべきでないとするならば、 「質量5.0kgの物体に糸をつけて鉛直上向きに100Nで引くときの加速度aの向きと大きさを答えよ」 という問題が出たときに、 どういった方法で解けばよいのでしょうか。

  • 物理のf=maと摩擦力について質問

    本を読んでいてわからなくなったので教えてください。 加速度を求める問題で、動摩擦力μNが働いています。(Nは垂直抗力) この時、ma=fをつかうのはわかっているのですが、 なぜma=f-μNとなるのかがわかりません。 f=maなのに、fとmaを区別して、同摩擦力を一方からのみ引いています。 これはつまり・・・動摩擦力はFと同じ力だから?とも思ったのですが、 結局f=maなのだからma-fとしてもいいのでは?と思いました。 maは変化してないが、fは変化しているとかんがえるべきなのでしょうか? なんだかよくわかりません。