３乗は立方体の体積、４乗はなんだろう・・・。

質問

おはようございます。

指数（？）についてなんだかもやもやしています。

Ｘが長さだとすれば、２乗は面積、３乗は体積、でも４乗は現実の何を指しているんだろう、と気になっています。

それから、指数法則とかで(X^2)^3はX^(2×3)だと思いますが、計算できてもそれが何をやってるのかよくわかりません・・・。数学は計算できることより意味が大事だと思うので考えてしまうのです。

たとえば(X^2)^3なら面積×面積×面積って何やってるんだろうとか。

この４乗以降の現実的な意味って何なのかご存知の方いらっしゃいませんか。

回答No.11

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについてです。

> ０次元超立方体ってのもあって、x^0=1ってなるのでしょうか

　一辺の長さがXの2次元超立方体ってのは、一辺の長さがXの正方形のこと。
　一辺の長さがXの1次元超立方体ってのは、長さがXの線分のこと。
　しかし、「一辺の長さがXの０次元超立方体」って言いたくても０次元じゃ「一辺の長さ」がないからな。

　4以上の次元の超立方体やその体積は、図形や模型として見られるものではないけれども、たとえばガス中の分子や導体中の電子の平均的な振る舞いを計算する時など、統計力学には必須なんです。案外リアルの世界と繋がっている。

> （１００万円×１．０１）^年数

　いやそれなら「 １００万円×（１．０１）^年数」ですけど。でもま、分かってるんじゃん。

お礼

気さくな感じでご回答ありがとうございます。

Xの１次元超立方体ってのは、いわゆる立方体ではなくて「線分」の別の言い方なのですね。

０次元超立方体は点っぽい・・・。

統計力学では４次元以上の超立方体の体積の概念、あるいは計算が使われることがあるとのことで、私もそういうところまでいつか達せればいいなぁと思います。

ちなみに複利の計算、あとで自分のが間違っているのに気づきました(^_^;

回答No.14

FT56F001

寸法の4乗が実用的に使われる例

物理というか，工学の話です。
電気で使うトランス(変圧器)の容量(扱える電力)は，寸法の4乗にほぼ比例します。
なぜかというと，トランスの電圧は鉄心の断面積に比例し，
トランスの電流は巻線の断面積に比例するからです。寸法の4乗というより，面積の2乗かもしれません。
ご参考まで。

お礼

ありがとうございます。

寸法ですから、実在する距離ですね。その、変圧器の距離を４乗すると、変圧器の扱える電力になるのですか。

寸法の４乗だから、言い換えれば面積の２乗。

電力というものが目に見えないから想像はできないですが、あるのですね、４乗の現象。

回答No.13

stomachman

比（cmなどの単位が付いていない数）の冪乗についてはひとまず解決ですかね。一方、単位が付いた数の冪乗を考えると「次元」の話になる。この話題にはしばしば珍説も混入するんで要注意ですが、ま、その注意を頭の片隅にでも入れた状態で、たとえば
http://okwave.jp/qa/q7143645.html
http://okwave.jp/qa/q172788.html
などご参照さなってはどうでしょ。

お礼

ありがとうございます。リンクのページ参照しました！！

累乗は、単位がついてしまうと「次元」の話になるわけですね。自分はその辺でごちゃごちゃしていたんだなと思いました。

比は単位はつかないですからね。

回答No.12

LHS07

４次元の世界は時間という軸ｔを設ければ成り立ちます。

(X^2)^3は単なる計算で　X^2　は面積と考えることが無理があると思います。

(X^2)^4や(X^2)^5だったらもっと解らなくなりますよね。

数学は、この世の世界を数値的に解明する手段であって、
　　　物理的な世界＝数学的な世界
ということではありません。

すなわち
　　　物理的な世界≠数学的な世界
ということになります。

お礼

ありがとうございます。

物理的な世界と数学的な世界が同一のものではないとすると、私が考えてしまうのは現段階での人間では物理的な世界の観測に限界があるために数学が先をいっているために同一でなく見えるだけで、実存的立場というか神様から見た立場（究極の真理が見える立場）では同一なのではないかということです。

抽象的ですみません。

(X^2)^4や(X^2)^5でX^2を面積と考えると変になりますよね（汗）

回答No.10

hugen

2年で区切って考えると
2年×３=6年　では、
(X・X)^3 = (X^2)^3 = X^6　倍

お礼

ありがとうございます。

(x^2)^3のような指数法則の現実との接点は、

１年単位で預金の利率が設定されていることを前提として、それを２年単位ずつ計算した場合ということですね。

元本を１００万円、年利を５パーセントとした複利で６年間預けるとすると

100×(1.05)^6　　←１年単位で考えた場合

100×(1.05^2)^3　　←２年単位で考えた場合

ということだと理解しました。かなり納得です。指数法則が現実問題とくっつきました！！

回答No.9

noname#171582

５乗は５次元の立方体の体積です。
６乗は６次元の立方体の体積です。
　・
　・
　・
　・
ｎ乗はｎ次元の立方体の体積です。
　・
　・
　・
∞乗は∞次元の立方体の体積です。

お礼

ありがとうございます。

それを聞きますと、やはり４乗以降は実態とは結びついていない架空の世界に行ってるんだな、と思いました。

数学は架空の世界で計算だけルールに従ってやらなきゃいけないんだとちょっとさみしくなります。

回答No.8

noname#171582

４乗は４次元の立方体の体積です。

お礼

ありがとうございます。

たぶん、前の方が教えてくださった４次元超立方体というものの体積ですよね。

座標がx,y,z軸とさらにz軸の直角方向にあるもうひとつの軸の４点にあるような。

回答No.7

mide

要素が4つの集合 {a,b,c,d} の部分集合を数え上げると ∅,{a},...,{a,b},...{a,b,c,d} の16個になります。これは各要素について，その部分集合に 含まれる・含まれない という2択なので 2^4=16 と計算できます。一般には 2^要素の数 です。

はい，私も高校のころまで数学の式や計算をいつも物理的な実体に結び付けて理解しようとしていたので，その気持ちはよく分かります。特に物理には対応するものが多く，結びつけることで理解しやすいことも多いですからね。でもそういう結びつけがなくても数学を扱えないといけないということは後で分かりました。

お礼

ありがとうございます。

集合のお話、理解できました。部分集合を数えるときは、ある、なしの２択だから２について累乗していくのですね。

それから、やはり、数学を実態と結びつけるという点では物理と対応させたくなりますよね！！　私もそうなのです。

でも、mideさんはその後、結びつけがなくても数学を扱えないといけないと分かったとのこと。私はまだmideさんの高校のころくらいの数学的発達段階にいるのだなと思いました(^_^;

回答No.6

LHS07

この世は３次元の世界ですからそれ以上の世界は数学上の架空の世界になります。

１次元はＸ座標です
２次元はＹ座標が増えます
３次元はＺ座標が増えます
上記をみると次元が増えると直角方向に座標が増えていきます

同様に
４次元はもう一つ座標が増えます。
Ｚ座標と直角方向に増えます
頭の中の架空の世界です。

(2^2)^3=4＾3＝64

2^(2x3)=2^6=64

お礼

ありがとうございます。

３次元以上の世界が架空、とは限らない気がしてしまうのです・・・。

４次元になるとＺ座標と直角方向に軸が増えるというのはとても参考になりました^^

回答No.5

hugen

1年で給料が　X倍になるとすると
2年で　　X・X＝X^2 倍
3年で　　X・X・X＝X^3 倍
4年で　　X・X・X・X＝X^4 倍

お礼

ありがとうございます。

指数は実社会の法則にもありそうですね。Ｘを長さと考えているから現実と結び付けられないのかもしれません。

(x^2)^3のような指数法則は現実にどういうところにあるんでしょうか。

回答No.4

mide

Xが1ビット，つまり2通りのものを表せるとすれば4ビットで表せるものの数は2^4=16，これは要素が4個の集合の部分集合の数でもあります。十進数4桁なら10^4=10000通りの数が表せます。

他には，年率8%で1年複利なら1.08^4=1.36048896とか。

指数はいろいろな用途がありますね。

ただ，数学の式や計算を現実の物理的な意味に結び付けなくても記号操作と結果だけで納得できるようになる精神力というか頭の柔軟さも必要だと思います。私はそれがうまくできなくて数学が大の苦手になってしまったことがあるので。

お礼

ありがとうございます。

面白いことをおっしゃっていますね。

Xが1ビットだとすれば、4ビットで2^4=16通りあるので、16個、アルファベットや記号を対応させられます。ただ、その先の「要素が4個の部分集合の数になる」ということがよくわかりません。面白いそうなので知りたいのですけど（汗）

複利の計算、他の回答者様へのお礼で書いたのですが私の式は間違ってました・・・。

それから、数学と現実とのつながりのことばかり私は興味を持っていましたが、記号操作と結果で納得する柔軟性もあったほうが世渡り上手というか、数学の世界も上手に渡れるかもしれません。

回答者様もどちらかというと現実の物理的な意味に結び付けたい方なのですか。そうだとすると、私の4乗を現実に対応づけられないもどかしい気持ちも伝わっているのでしょうね(^_^)