運動量保存の法則の成立のポイント

質問

こんにちは、いつも勉強させてもらっています。
不明瞭なタイトルですみません。物理の問題で、運動量保存の法則が使えるか否かを判断するのに、こういう考えではどうかという私の考えを添削・確認頂きたく質問投稿いたしました。どうか宜しくお願いします。

運動量保存の法則が成り立つか否かは、「外力がその系に働いているか否か」、で決まるということをよく習いました。しかし、その外力としてどういうものが含まれるのかが、よく疑問に挙がります。たとえば、重力、たとえば、摩擦力などがよく質問にあがるのではないかと思います。

外力という考えを持ち込むよりも、

運動量保存の法則を当てはめたい物体の『質量・速度の変化が観測できること』がポイントではないかと思いました。運動量保存の法則は、作用反作用の法則から導かれる訳ですが、作用、反作用の力を受けた物体の質量が分からなければなりません。たとえば、質量m1の物体Aが速度vで地面にたたきつけられた場合、一般に運動量保存の法則は使えません。物体Aは地面（地球）から力を受け、地球も物体Aから同じ大きさの力を受けます。しかし、地球の質量も速度の変化を測定するのは「現実的には」不可能なので、運動量保存の法則は使えない、ということではないかと思っています。

また、キャスター付きのテーブル（質量m2）上で物体Aを速度vで滑らせると、摩擦力で速度が減速します。しかし、同じ大きさの摩擦力がテーブルにもかかるため、運動量保存の法則は適用できます。この場合、摩擦力は、いわゆる「外力」に含まれません。一方で、テーブルが地面に固定されている場合は運動量保存の法則は適用できません。テーブルに同等の摩擦力が働きますが、テーブルは地球に固定されており、地球の速度の変化を知ることはできないため、運動量保存の法則は使えません。この際、摩擦力は、運動量保存則を成り立たせないいわゆる「外力」になるかと思います。

重力はほとんどの場合「外力」として定義されますが、ある物体に地球からの万有引力が働いている場合、その物体もわずかながら地球に引力を及ぼし、作用・反作用が成り立ち、地球の質量・速度の変化がわかれば、運動量保存則を使えると思います（あくまで地球の質量・速度の変化がわかればだと思います）。

このように、運動量保存の法則が使えるか、使えないかを考える際、いわゆる「系に外力が働いているかどうか」という少々理解しにくい言葉よりも、「対象としている物体（たとえば、衝突の相手）についてその質量・速度の変化を観測できるかどうか」、と考えるのはどうかと思いました。もっと極端に言いますと、「作用の相手が地球かどうか（相手が地球、もしくは地球に固定されたものなら、運動量保存の法則適用不可）」、と考えるのはどうかと思いました。

以上ですが、皆さんにとって当たり前のことを申し上げているのかもしれないと心配しておりますが、
物理の諸問題を解く際のヒント、シンプルな考え方として、どうかと思いました。
もしかしたら、間違ったことを言っているかもしれないという心配もしており、どうか添削、訂正を
頂ければと思います。

宜しくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

「観測できるかどうか」を基準とするという表現は誤解をまねくおそれがあるかと思われますが，ひとつの見方として正しい見方をされていると思います。

しかし，系とその内力，外力という考え方は十分シンプルであり，系に含まれる物体同士の間に作用する力が内力，それ以外の力は外力ということで作用反作用則と運動量保存則との関連に直接基づいた記述であると思います。また，細かい点を言えば，力の場という考え方をすれば，場の源の存在を捨象して場から受ける外力，という記述もなされますので，そういった場合は相手の「質量・速度変化」という概念すら現れません。とりわけ重力などはそうした場から受ける外力というイメージが強く，相手である地球の存在は捨象してよいとするのが初等的な理解であると思います。

お礼

yokkun831様、

回答下さいましてありがとう御座います。
私のお伝えした内容にはいろいろと語弊があるかと思いましたが、私の考えがどれほどあっているのかどうかを確認したく、批判を承知で投稿させて頂きました。ひとつの見方として正しいとのことで、とても安心しました。重ねまして御礼申し上げます。

実は先ほど新たな疑問でどうしてもお伺いしたいことがあり、質問として投稿させて頂きました。どうにも当たり前と見える悩みなのですが、その当たり前をきちんと物理的に説明したく、どうか再度、勉強させて頂ければ幸いです。

どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.5

s_hyama

シンプルに速度の基準は光の速度しかないのでは？

重力が無い場合は、光の速度c^2=空間速度v^2+物質速度w^2
全エネルギーはmc^2、相手との相対運動量、mv=m√(c^2-w^2)
これは、相対させる相手によりcの範囲内でvが決まる。
すなわちvを定める基準は相手による。
全エネルギーが決まっていれば、運動量は何でも良いともいえます。

重力がある場合はφ=2GM/r、c^2=(φ+v^2)+w^2
全エネルギー=mc^2=m(φ+v^2)+mw^2
v=0の地上静止状態で、GMm/r=m(c^2-w^2)/2=mv^2/2
位置エネルギーと運動量がつり合ってのvスタートですね。
この場合は重心点との位置関係により外力が変わりますので、
重心点に対しての運動量になります。

ひゃまの光の物質空間より

お礼

回答下さりありがとう御座いました。御礼が遅くなりましたことお詫びします。

回答No.4

foomufoomu

どこまでを「系」と考えるか？
の問題だけではないでしょうか。

たとえば、ロケットが、燃焼ガスを噴出して前に進む場合、ロケット本体だけを「系」と見れば、ガスは「推力」という外力になりますが、噴出したガスまで「系」に含めれば、全体として運動量は保存します。

この考え方を拡張すれば、地球に物体Aが衝突する問題も、テーブル上で物体Aがすべる問題も、物体だけを「系」とみるのか、地球までを「系」に含めるのか、で外力として扱うか、全体の運動量として扱うのかの違いになるだけ、であることが分かります。

ようは、どちらで考えるのが便利か？　という人間のつごうの問題でしょう。

＞地球の質量も速度の変化を測定するのは「現実的には」不可能なので、
なぜ、そう言い切れるのか、わかりません。物体Aが地球の1/2の質量を持つ巨大物体だったら・・・

お礼

回答下さりありがとう御座いました。

回答No.3

ryumu

コメント読みました。

外力ですが、注目している物体に接触する別の物があると、注目物体には必ず外力が働きます。
さらに接触せずに力を与える重力も、外力です。

実のところ「力」と言うものは４種類しかありません。
高校などで教える古典的な物理で出てくるのは、このうちの２種の「重力」と「電磁気力」です。
大ざっぱに言えば、（摩擦を含む）接触によって生じる反発力などの力は、全て電磁気力が原因です。

あらゆる物質は、原子で出来ており、原子は正電荷の原子核の周りに、負電荷の電子が取り囲んだ状態になっています。
ですので、物体間の接触が起こると、原子表面の電子同士が電気的に反発し合うので、物体間は反発し合うことになります（作用反作用）。

そして、遠方から接触せずに、力を与えるのが重力です。
ちなみに、注目物質が電荷を持っていると、”接触していなくても”、周囲の電荷とやはり電磁気力で相互作用します。

ただし、運動量保存則では、注目している物体の運動方向も重要な要素です（そもそもベクトル量ですしね）。
地球に対して、垂直方向の運動では、重力は常に影響するので、保存則は（地球自体を方程式に含めなければ）成り立ちませんが、地球に対し、水平方向の運動では、重力を考慮しなくてすみます。

お礼

御礼がおそくなりまして、申し訳ありませんでした。
大変勉強になりました。物理はしっかりと説明ができることが多くてとても面白いです。

回答No.2

ryumu

少し気になったので、コメントを。

運動量保存則は（エネルギー保存則もですが）、そもそもニュートンの運動方程式から導かれるものですから、方程式を立てた時点で保存則が成り立つかどうか決まってしまいます。

たとえば、以下の二つの運動方程式では、二つの物質間（それぞれ質量M1,M2, 速度V1,V2）で保存則が成り立ちます。

　M1(dV1/dt) = F
M2(dV2/dt) = -F

とうのも、２式を足せば、

　M1(dV1/dt) + M2(dV2/dt) = 0 (*)

これを、時間で積分すれば、運動量保存則ですよね。

　(*) => 時間積分 => M1V1 + M2V2 = 一定

つまり、複数の物体間でも、(*)が成り立てば、自動的に運動量保存則が成り立つことになるということです。

一方、いずれかに独立の外力が働いていると、たとえば

　M1(dV1/dt) = F + K
M2(dV2/dt) = -F

となると、(*)を満たさないので、保存則は成り立ちません。
しかし、

　M1(dV1/dt) = F + K
M2(dV2/dt) = -F
M3(dV3/dt) = -K

となる別の物質が存在すれば、この3体で、運動量保存則が成り立ちます。

M1(dV1/dt) + M2(dV2/dt) + M3(dV3/dt) = 0

=> 時間積分　=> M1V1 + M2V2 + M3V3= 一定

ちなみに、エネルギー保存則の場合は、各式を変位で積分することで得られます。
ちょっと計算がややこしいですが。。。

お礼

ご丁寧に回答下さり本当にありがとう御座います。
頂きました式の中で、外力、のところがどうしても素人、というか私、には捉えにくいことでして、悩んでおりました。ryumu様の回答からさらに勉強したいと思います。よろしくお願いします。