リーマン面

質問

z=x+iyに対して√ｗ=u(x,y)+iv(x,y)とおいた時
u(x,y)　v(x,y)を具体的にx,yの関数で表示すること

(√r)e^(θ/2) ,(√r)e^{(θ/2)+π}
まではわかったのですが、リーマン面の考えを用いて答えにいたるまでがわかりません。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

本当にわかってますか？
√z と √ｗ の書き間違いは前の質問(No.68722)そのままだし
siegmund 先生のタイプミス（＊）をそのまま書いてるし。
心配だなぁ。

（＊）No.68722 のsiegmund 先生の回答NO.3の中で
w1=(√r)e^(θ/2)
w2=(√r)e^{(θ/2)+π}
と書いてあるのは
w1=(√r)e^(iθ/2)
w2=(√r)e^{(iθ/2)+iπ}
の書き間違いだと思います。指数部が実数では複素数になりませんから

とりあえずリーマン面うんぬんはさておいて
r,θについての極形式で表現された解をx,y についての直交形式に変換するための
ヒントだけ書いておきます。

zを極形式および直交形式で表すと
z=re^(iθ)= r (cosθ+i sinθ)= x+iy
ですから
rおよびcosθをx,yを使って表すとどんな式になるかはわかりますね。
次に
cos(θ/２)およびsin(θ/２)を cosθを使って表すとどんな式になるでしょうか？
そして
(√r)e^(iθ/2) および (√r)e^{(iθ/2)+iπ} をsin ,cosを使って書くと
どんな式になるでしょうか？

最終的な解はuもvも根号の中に根号を含む式が入る形になりますが、内側の式の
根号の符号に注意して下さい。内側の式の値が負の数になるとその平方根は虚数に
なるのでこの問題の解答にはなり得ません。

回答No.2

siegmund

siegmund です．

No.68722 の私の回答NO.3の中のミスタイプは oodaiko 先生ご指摘の通りです．
虚数単位のｉが抜けてしまいました．
oodaiko 先生，ご注意ありがとうございました．

私が前にリーマン面云々と書いたので karkarl さんを迷わせたかも知れません．
余計なことだったかな～．
とりあえず，u(x,y)，v(x,y) の表式を得るということなら，
oodaiko 先生の方針が一番わかりやすいでしょう．

ついでですから，リーマン面に触れておきましょう．
本物の数学者の oodaiko 先生がいらっしゃるのに
物理屋の私がリーマン面の話をするのもなんですが，
一応物理数学の授業もやっていますし...(^^;)

リーマン面については，
今の問題でリーマン面の考えを用いて結果を得るというよりは，
得られた結果をどう解釈するか，という話と思った方がよいでしょう．
前にも書きましたように，
z=re^(iθ)，w1=(√r)e^(iθ/2) として，
簡単のためｒを固定してみると(本当は必須ではない)，
ｚが原点の周囲を２周してはじめてｗ１の値が元に戻ります．
つまり，ｚが１周目のときと２周目の時とではｗ１の値が違います．
ｗ１をｚの関数とみるなら，ｚが決まったときｗ１が決まっている
(つまり，ｚの複素平面からｗ１の複素平面への対応がつく)のが
何かと都合がよいでしょう．
ところが，今の話ではｚを決めたときｗ１の値に２通りの可能性があるので，
うまく行きません．
じゃあ，ｚの複素平面を２枚用意して
(前はｗ１の平面を２枚なんてミスタイプしました)，
θが０～2πは第１のｚ複素平面を動き，
θが 2π～4πは第２のｚ複素平面を動く，
と思えば，ｚの複素平面からｗ１の複素平面への対応がうまくつきます．
つまり，２枚のｚ平面と１枚のｗ１平面を対応づければよいわけです．
ただし，２枚のｚ平面を全く別々にしておくと，
θが０→2π→4πと連続的に変化することが考えにくい．
θが2πを越えるときに，突然別の平面にジャンプすることになってしまいます．
で，ちょっと工夫をし，
ｚの２平面を正の実数軸に沿って０から∞まで切断して(branch cut)
両者をうまく貼りあわせます．

リーマン面についての詳細は複素関数論の本など探してみてください．
数学専門ではないのでしたら，
応用複素関数論とか物理数学といったタイトルの本の方が読みやすいかも知れません．

今の問題だけでしたら，リーマン面は忘れてしまっても大丈夫です．