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３の倍数であることの証明
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a, bは自然数とする。 (1) xは３で割ると１余るので、x = 3a + 1 yは３で割ると２余るので、y = 3b + 2 x + y = 3a + 1 + 3b + 2 = 3(a + b + 1) a + b + 1は自然数なので、x + yは３の倍数である。 (2) x = 3a + 1の時 x^2 = (3a + 1)^2 = 9a^2 + 6a + 1 = 3(3a^2 + 2a) + 1 よって、x^2は３で割ると１余る。 x = 3a + 2の時 x^2 = (3a + 2)^2 = 9a^2 + 12a + 4 = 3(3a^2 + 6a + 1) + 1 よって、x^2は３で割ると１余る。 ∴xが３の倍数でないとき、x^2は３で割ると１余る。 (3) xもyも３の倍数でないと仮定すると、(2)より x^2 = 3a + 1 y^2 = 3b + 1 すなわち z^2 = 3(a + b) + 2 とおくことができる。 zが３の倍数の時、z^2も３の倍数となり、矛盾 zが３の倍数でない時、z^2は３で割ると１余るので、矛盾 よって仮定は誤り。 ゆえに、３つの正の整数ｘ、ｙ、ｚの間にｘ＾２+ｙ＾２＝ｚ＾２の関係が成り立つときｘ、ｙの少なくとも一方は３の倍数である。 こんな感じですが、どうでしょう？
その他の回答 (6)
- eclipse2maven
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こういうのは、剰余類でかんがえましょう。 そうすると 0,1,2 だけしかない。 たとえば （２）は 0以外の元はすべて2乗は １ ですよね たとえば ２＊２＝４＝１ そうすると （３）は １＋０＝１ ０＋１＝１ か ０＋０＝０ のどれか
- chie65535
- ベストアンサー率43% (8512/19352)
(1)x=3n+1、y=3m-1とすると、x+y=3n+1+3m-1=3n+3m。3n+3m=3(n+m)なのでx+yは３の倍数。 (2)ｘ=3ｎ±1にして2乗すると、9n^2±6n+1で、9n^2±6nは３の倍数であるから、３で割った余りは1。 (3)ｘとｙがどちらも3の倍数でないなら、(2)より「必ず余り１」なので、x^2+y^2を３で割った余りは2になる。これはx^2+y^2=z^2に矛盾する。何故なら、z^2を３で割った余りは(2)より「必ず余り１」であるはずだから。したがって、ｘ、ｙの少なくとも一方は３の倍数である。 (3)の答えは(1)と(2)が理解出来ていれば回答可能。
- FEX2053
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おまたせ。 (3) X^2,Y^2の両方が3の倍数でないとき、Z^2にならなければ オッケーと考えるのが正解かな。条件が4つ出来るのでスマート じゃないから、イマイチ気にいらないけど。 (3a+1)^2+(3b+1)^2 = 3(3a^2+3b^2+2a+2b)+2 (3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+2a+4b+1)+2 (3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+4a+2b+1)+2 (3a+1)^2+(3b+2)^2 = 3(3a^2+3b^2+4a+4b+2)+2 どれも3で割ると2余るわね。 で、この値が Z=3c^2 , Z=(3c+1)^2 , Z=(3c+2)^2 のどれでも 無いことを示せばいいんだけど、 3c^2 = 3(c^2) (3c+1)^2 = 3(3c^2+2c)+1 (3c+2)^2 = 3(3c^2+4c+1)+1 どれも3で割って2は余らないわね。ということで、不可。念のため 3a^2+(3b+1)^2 =3(3a^2+3b^2+2b)+1 だから1余るのでオッケー、まあ、数学的には全部調べた方がいい かもだけど、題意から「両方3の倍数でない＝少なくとも１方は ３の倍数である」と言えるので。これでオッケーではないかと。 ただねえ・・・もっとスマートなとき方がありそうな気はするけど。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
(1) 3で割ると1余る整数xは別の整数mを使い x=3m+1 と表せます。 同様に3で割ると2余る整数yは別の整数nを使い y=3n+2 と表せます。 x+yをm,nを使い表してみましょう。 (2) 3の倍数でない整数は3で割ると1または2余ります。 (1)同様それを3m+1,3n+2とおき、それぞれを2乗した式を展開してください。 3でまとめるとあまりが分かるのではないでしょうか。 (3) 両辺を3で割った余りを考えてみましょう。 x,yともに3で割り切れない場合、x^2,y^2を3で割ると"1"余ります。 ということはx^2+y^2を3で割ると"2"余るということで4す。 右辺を3で割った余りは何になるでしょうか。
- ONEONE
- ベストアンサー率48% (279/575)
(1)xを整数nで、yを整数mで表してから足す (2)nを整数としてx = 3n +1または3n - 1と表せるので二乗してみる。 (3)http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pythagoras/pythagoras2.htm
- FEX2053
- ベストアンサー率37% (7987/21354)
視察で、フツーに考えて「アタリマエ」だと判りませんか？ (1)X=3a+1 Y=3b+2 (a,bは整数）と表現できますから X+Y = (3a+1)+(3b+2) = 3(a+b)+3 =3(a+b+1) ほれ、3で割れる。 (2)同様に条件は X=3a+1 または X=3a+2 のどちらか (3a+1)^2 = 9a^2+6a+1 = 3(3a^2+2a)+1 (3a+2)^2 = 9a^2+12a+4 = 3(3a^2+4a+1)+1 ほれ、1余った。 (3)これは、チト難しい・・・。
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