中学レベルから高校レベルの４問をお願いします

質問

答が分かっていますが、どうやって解いていけばいいのか分からないので
解法を教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。

問１
大きい袋の中には赤い球が１０個と青い球が６個入っており、小さい袋には赤い球が４個と青い球が２個入っています。
大きい袋から２個、小さい袋から１個の球を取りだすとき、球の色が全て同じである確率を分数で求めなさい。

問２
１辺が１0センチの正三角形ABCにおいて、辺AB上を動くPと辺BC上を動くQがあります。
Pは点Aから点Bに向かって毎分１センチの速さで動き、Qは点Bから点Cに向かってPの２倍の速さで
動きます。
PQ間の距離が最小になるのは、スタートしてから何分後ですか。

問３
３X＋Y=６を満たすX,Yについて、
XY+９の最大の値を求めなさい。

問４
１辺の長さが８センチの立方体ABCD-EFGHがあります。
辺AB、辺BCの中点をそれぞれP,Qとするとき四角形
PQGEの面積は何平方センチですか。

答は
問１が　7/24
問２が　20/7分後
問３が　12
問４が　72平方センチ

実際にそれぞれの問題についての感想ですが、

問１は中学で習った確率や組み合わせの問題だと思いますが、解けません。

問２と問３はお手上げです。高校レベルの数学でしょうか。

問４は中３から高１レベルの図形の問題でしょうか。PQGEは台形だなと思いますが。

当方４０代の社会人ですが文系だったこともあり、正直、高校レベルの数学はほとんど忘れています。
特に問２から問４は現在の中学生、高校生の数学の教科書や参考書のどの部分を
見ればいいでしょうか。そのへんのことも含めて教えていただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Okayan_T · ベストアンサー

とりあえず問１について。

現在では高校のはじめに習う「数学I」の組み合わせと確率のあたりを見ると大丈夫かと思います。

ええっと、つまり「3つとも全部赤だった」確率と、「3つとも全部青だった」確率を求めて、足し算すべきですね。

じゃ、3つとも全部赤だった確率から。

ア　大きな袋
16個の玉から2個を選ぶんですよね。これは「組み合わせ」という計算になります。
１６C2＝１６×１５／２×１＝１２０　つまり、全部の玉を区別すれば、120通りの出方があるわけです。
で、2個とも赤の確率は、赤い玉が10個ありますから、
１０C2＝１０×９／２×１＝４５
ということは、大きな袋から2個取り出して2個とも赤い確率は、４５／１２０＝３／８

イ　小さな袋
６個のうちの赤い玉が４つですから、単純に1個取り出して赤い確率は４／６＝２／３

この二つのことが同時に起こる確率は、確率同士をかけ算すると出ます。

３／８×２／３＝１／４

ので、3つとも赤い確率は１／４となります。

で、同じように3つとも青い玉である確率は
大きい袋で　１６C2=１２０，６C2＝１５　より、１５／１２０＝１／８
小さい袋で　１／３
より、１／８×１／３＝１／２４

ので、3つとも青い確率は１／２４となります。

で、１／４＋１／２４＝６＋１／２４＝７／２４ですね。

問２、問３ともに、数学Iの「2次関数」の領域になるのではないでしょうか。
問２は座標に正三角形を描いて（Aを原点、Bを（１０，０）にするとよいかな？）P（ｘ、０）と置いて（もちろんQは直線の方程式からｘを使って表すのですが）ＰＱの距離をｘを使って表すと、おそらく２次式になるはずですから、その最小値を求める（おそらくグラフに描くと頂点になるところでしょうね）といいと思います。
問３はｙ＝６－３ｘと式を移行して、ｘｙ＋９のｙに６－３ｘを突っ込んで計算すると２次式になるはずです。あとは問２と考え方は同じ。ま、放物線のグラフが逆になりますが。

問４は台形でＯＫだと思います。台形は（上底）＋（下底）×（高さ）÷２です。上底下底は大丈夫ですが、高さはちょっと難しいかも。でもこれも三平方の定理の応用で求められるはずですよ。

がんばって下さい。

ちなみに僕も４０目前ですが、自分が数学を習ったときとは教育課程が大きく違っていると思います。なのでどこを見ていいのやら分からないですよね。

補足

回答いただき有難うございます。
問１，３，４に関しては上述のお答をヒントに解決しました。
問２についてはどういう考え方で２次関数が関係してくるのか、それすら
分かりません。
もう少し解説していただけないでしょうか。よろしくお願いします。