物理の波の干渉の問題です

質問

左右に3.0m離れてスピーカーA,Bが置かれており、A,B、から340Hzの同位相の音波が出ている。
音速を340m/sとする

(1)Aの前方4.0mの点Pでは、A,Bからの音波は強めあうか弱め合うか

(2)AP間にはA,Bからの音波が弱め合う点はいくつあるか

(1)は強めあうとわかったのですが、(2)は先生に質問しても教えてもらえず困っています。
ＡＰ間をＣと置いて解こうとしているのですがうまくいきません。

お時間があれば解説と回答をよろしくお願いします。

回答No.5

yokkun831 · ベストアンサー

AB間では逆向きに進行する波が重なりあって定常波ができますから，中央の腹から半波長ごとに腹が生じます。P点は１波長差で強めあう点ですから，APの中央からひとつとなりの腹につながる腹線上にあります。すると，AP間には強めあう点がひとつ，弱めあう点が２つあるはずですね？

お礼

簡潔でとても分かりやすかったです。
わざわざ図までつけていただき本当にありがとうございます。

回答No.6

yokkun831

訂正です。
「APの中央からひとつとなりの腹につながる腹線上にあります。」
は，
「ABの…」
の誤りでした。お詫びとともに訂正いたします。

回答No.4

JOUNIN

再度No.2です
度々すいませんが訂正です

強め合うxの座標を間違えてnの値で書いてます

ですので強め合うxの座標は

x=0.±1/2,±1,±3/2

となります

回答No.3

JOUNIN

No.2ですが少し訂正があります

振幅が最大のとき強め合うのは確かですがその後の表記で

2C(cosの項)が最大

と書いてますが正確には

|2C(cosの項)|が最大

です
つまり(cosの項)=±1のときが強め合う条件です

同様に振幅が最小の時弱め合うので

2C(cosの項)が最小

ではなく

|2C(cosの項)|が最小

なので(cosの項)=0のときが弱め合う条件です

回答No.2

JOUNIN

1次元での波の干渉の問題ですね
(1)、(2)をまとめて考察するために一般のxについて考えます
説明の都合上座標設定をします
スピーカーA,Bのx座標をそれぞれ-3/2(=a),+3/2(=b)と置き、原点,Pのx座標を0(=o),5/2(=p)とします
またf=340[Hz],v=340[m/s]とします
この時波長λは1[m]となります(∵v=fλ)

まずx=aにおけるAからの波の式を

Ψ_A(a,t)=Csin2πft=Csin(2π/T)t=Csinωt(C:振幅、T:周期、ω:角振動数)

と置きます
このとき一般的なxにおけるAからの波の式は

(i)a≦xのとき
Ψ_A(x,t)=Csin(2π/T){t-(x-a)/v}
=Csin2π{t/T-(x-a)/vT}
=Csin2π{t/T-(x-a)/λ}(∵vT=λ)
=Csin{(2π/T)t-(2π/λ)(x-a)}
=Csin(ωt-δ_A)(δ_A=(2π/λ)(x-a)とおいた)

(ii)x≦aのとき
Ψ_A(x,t)=Csin(2π/T){t-(x-a)/(-v)}
=Csin2π{t/T+(x-a)/vT}
=Csin2π{t/T+(x-a)/λ}(∵vT=λ)
=Csin{(2π/T)t+(2π/λ)(x-a)}
=Csin(ωt+δ_A)

同様にx=bにおけるBからの波の式を

Ψ_B(b,t)=Csin2πft=Csin(2π/T)t=Csinωt

と置きます。簡単のため振幅は同じと考え、またA,B空の音はともに減衰しないとします
同様の計算により、一般的なxにおけるBからの波の式は

(i)b≦xのとき
Ψ_B(x,t)=Csin(ωt-δ_B)(δ_B=(2π/λ)(x-b)とおいた)

(ii)x≦bのとき
Ψ_B(x,t)=Csin(ωt+δ_B)

となります
よって一般的なxにおける波の式は、(1)と(2)の重ね合わせになりますので

(i)b≦xのとき
Ψ(x,t)=Ψ_A(x,t)+Ψ_B(x,t)
=Csin(ωt-δ_A)+Csin(ωt-δ_B)
=2Csin{(ωt-δ_A+ωt-δ_B)/2}cos{(ωt-δ_A-ωt+δ_B)/2}(∵和積公式)
=2Ccos{(δ_A-δ_B)/2}sin{ωt-(δ_A+δ_B)/2}(∵cosθ=cos(-θ))
=2Ccos{(δ-)/2}sin{ωt-(δ+)/2}(δ-=δ_A-δ_B,δ+=δ_A+δ_Bとおいた)

(ii)a≦x≦bのとき
Ψ(x,t)=Ψ_A(x,t)+Ψ_B(x,t)
=Csin(ωt-δ_A)+Csin(ωt+δ_B)
=2Csin{(ωt-δ_A+ωt+δ_B)/2}cos{(ωt-δ_A-ωt-δ_B)/2}
=2Ccos{(δ_A+δ_B)/2}sin{ωt-(δ_A-δ_B)/2}
=2Ccos{(δ+)/2}sin{ωt-(δ-)/2}

(iii)x≦aのとき
Ψ(x,t)=Ψ_A(x,t)+Ψ_B(x,t)
=Csin(ωt+δ_A)+Csin(ωt+δ_B)
=2Csin{(ωt+δ_A+ωt+δ_B)/2}cos{(ωt+δ_A-ωt-δ_B)/2}
=2Ccos{(δ_A-δ_B)/2}sin{ωt+(δ_A+δ_B)/2}
=2Ccos{(δ-)/2}sin{ωt+(δ+)/2}

となります

ここでδ-,δ+はxの関数ですので、xの位置を決めればcosの項は一定値となりますが、sinの項は時刻tに依存するので、時間経過と共に変化します
すなわち上式はxを固定すれば振幅2C(cosの項)の波の式を表します
A,Bからの波が強め合うというのは振幅が最大になるという意味であり、弱め合うというのは振幅が0になるという意味です(本来波は減衰するので弱め合って振幅が0になることはありませんが、今は減衰を無視しているのでこう考えます)

今強め合う位置にあるxにおいて振幅が最大、すなわち2C(cosの項)が最大になります
2Cはxによらない定数なので(cosの項)が最大になるxを考えると

-1≦(cosの項)≦1

を考慮して(cosの項)=1となるxで強め合うことがわかります
すなわち

(i)b≦xのとき
cos{(δ-)/2}=1
⇔(δ-)/2=nπ(n∈Z)
⇔δ-=2nπ
⇔δ_A-δ_B=2nπ
⇔(2π/λ)(x-a)-(2π/λ)(x-b)=2nπ
⇔b-a=nλ

(ii)a≦x≦bのとき
cos{(δ+)/2}=1
⇔(δ+)/2=nπ
⇔δ+=2nπ
⇔δ_A+δ_B=2nπ
⇔(2π/λ)(x-a)+(2π/λ)(x-b)=2nπ
⇔2x-a-b=nλ

(iii)x≦aのとき
cos{(δ-)/2}=1
⇔(δ-)/2=nπ(n∈Z)
⇔δ-=2nπ
⇔δ_A-δ_B=2nπ
⇔(2π/λ)(x-a)-(2π/λ)(x-b)=2nπ
⇔b-a=nλ

をみたすxが強め合う位置です
上式を見てみると(i)、(iii)のときはxの項が消えますので、xによらず振幅は一定です
b-a=3、λ=1より(i),(iii)を満たすnとしてn=3がありますので、(i)、(iii)の範囲では強め合います
一方(ii)の時はxの項が残っていますので、xにより振幅は変化します
b-a=3、λ=1より強め合うxの条件は

2x-a-b=nλ
⇔2x=n
⇔x=n/2

となり、a≦x≦bすなわち-3/2≦x≦3/2の範囲で上式を満たすのは

x=0,±1,±2,±3

のみです

同様にして弱め合う条件を考えると、(cosの項)=0の時なので

(i)b≦xのとき
cos{(δ-)/2}=0
⇔(δ-)/2=(n+1/2)π
⇔δ-=(2n+1)π
⇔δ_A-δ_B=(2n+1)π
⇔(2π/λ)(x-a)-(2π/λ)(x-b)=(2n+1)π
⇔b-a=(n+1/2)λ

(ii)a≦x≦bのとき
cos{(δ+)/2}=0
⇔(δ+)/2=(n+1/2)π
⇔δ+=(2n+1)π
⇔δ_A+δ_B=(2n+1)π
⇔(2π/λ)(x-a)+(2π/λ)(x-b)=(2n+1)π
⇔2x-a-b=(n+1/2)λ

(iii)x≦aのとき
cos{(δ-)/2}=0
⇔(δ-)/2=(n+1/2)π
⇔δ-=(2n+1)π
⇔δ_A-δ_B=(2n+1)π
⇔(2π/λ)(x-a)-(2π/λ)(x-b)=(2n+1)π
⇔b-a=(n+1/2)λ

をみたすxが弱め合う位置です
上式を見てみると(i)、(iii)のときはxの項が消えますので、xによらず振幅は一定です
b-a=3、λ=1より(i),(iii)を満たすnはありませんので、(i)、(iii)の範囲では弱め合うことはありません(前述のとおり強め合います)
一方(ii)の時はxの項が残っていますので、xにより振幅は変化します
b-a=3、λ=1より弱め合うxの条件は

2x-a-b=(n+1/2)λ
⇔2x=n+1/2
⇔x=n/2+1/4

となり、a≦x≦bすなわち-3/2≦x≦3/2の範囲で上式を満たすのは

x=±1/4,±3/4,±5/4

のみです

以上より、次のようにまとめることができます
同位相の波の干渉について

強め合う時:(位相差)=2nπ(経路差=nλ)
弱め合う時:(位相差)=(2n+1)π(経路差=(n+1/2)λ)
ただしn∈Zである

参考になれば幸いです

回答No.1

noname#158987

340m/sで340Hzなので、1m置きに周期がやってくる音波なんですね。
それは（１）がとけてるから大丈夫ですね。
で、
２ですが、
幾何学みたいな問題です。
AP間に点Qを定義する。
AQ=x
BQ=y
とすると、弱めあうことも考慮すると
y-x=0.5+n(nはゼロ以上の整数)
y^2=x^2+3^2
0<x<4, 3<y<5
の条件が成り立たないといけない。

以上から
xかyに絞り込んで、nを変えながら条件式を満たすものを
求めれば数が求まると思います。