放熱量の計算式と計算を助けてください

質問

ビニールハウス内に銅管を張りめぐらして，お湯を循環させることで暖房することを設計したいのですが，熱湯を循環させて，何メートルの銅管を巡らしたら放熱量がどれほどになるか，見当がつきません。以下のような条件の場合の，銅管全体からの放熱量とお湯の出口での温度について，計算式と答えを教えていただけないでしょうか。
(1)室内気温：0℃　(2)銅管の長さ：50ｍ　(3)銅管の規格：内径10ｍｍ，厚さ1ｍｍ　(4)投入時のお湯の温度：95℃　(5)ポンプによる流速：100リットル/分

　よろしくお願いします

回答No.4

okormazd · ベストアンサー

#2です。
補足について、

(1)
1480[W]=1480[J/s]=1480[J/s]*0.24[cal/J]*3600[s/h]*1/1000[kcal/cal]=1280[kcal]h]

この場合、伝熱量を大きくしたいなら、伝熱面積を大きくするに尽きるでしょう。
そのためには、配管を長くするか、複数の配管にする。管を太くするのは効果がない。細い配管をたくさん使う。

(2)
伝熱(放熱)量は、外気とお湯の温度差(平均)に比例します。
お湯の温度が下がる→平均温度差が小さくなる→伝熱量が小さくなる
です。
また、
伝熱量はお湯の温度が下がった分だけではなく、お湯の流量に比例します。
流量が多ければ、温度が少ししか下がらなくても伝熱量は大きくなる。
いずれも、計算式に表されています。式をよく見てください。「納得感」とは関係ありません。
あなたの「理解に欠落」あるのでしょう。
なお、
内径10[mm]の管に100[L/min]の流量だと、流速が20[m/s]以上になる。ふつう液体をこんな流速では流しません。
ポンプが大変でしょう。せいぜい数[m/s]程度までにしましょう。

お礼

丁寧な補足をありがとうございます。
エクセルで計算してみて，感じがつかめてきました。流量のサジェストもその通りだと納得しました。
100坪のハウス栽培をするには，学術誌では20000kcal/h必要だと言うので，これをもとに，どうすれば実現するかを考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.3

syohyuga

#1です。
配管長さは与えられていたのですね。失礼しました。
ということで#2さんの回答の方がよさそうです。

なお、
>(2)関連して，流速100l/minの場合の放熱量が1480Wである一方，流速1l/minの場合の放熱量が，
>出口温度が76℃にまで下がる一方で1340Wの放熱量になるという結果には納得感がないのです。
>お湯の温度が下がる分だけ銅管からの放熱量は増加するはずと思うのですが，何か私の理解に
>欠落があるでしょうか。

については
　Q = U×A×ΔT
と同時に、
　Q = m×Cp×Δt
(m：流量[kg/h]、Cp：定圧比熱 [kcal/(kg・℃)、Δt：入出温度差[℃])
でもあります。
例えば同じ放熱量なら、mが小さいほどΔtが大きく、即ち出口温度が低くなります。

と、横から失礼しましたm(_ _)m

お礼

丁寧な説明をありがとうございました。
計算式からすると確かにそうですよね。ある解説をみていて，「風呂に入ると，お湯を動かすと熱く感じるでしょう，それと同じです。流量が大きいほど放熱量は高い。」これで納得しました。
ありがとうございました。

回答No.2

okormazd

「放熱量とお湯の出口での温度について」の計算はできますが、
「計算式」と、計算の仕方はそれほど簡単ではありません。

質問の条件で、一般に用いられている方法で計算すれば、
「放熱量」は、1480[W]
出口温度は、94.8[℃]
ほどになります。

ビニールハウスがどの程度の大きさかわかりませんので、なんともいえませんが、
たぶん、予想とはだいぶずれているのではないかと思います。

100リットル/分の流量では、2秒ほどで出てしまいます。だから温度は下がらい。

計算の仕方

1
伝熱の基本式

Q=UAΔt・・・・(1)

と、
単純な熱収支式、

Q=WC(t2-t1)・・・・(2)

を組み合わせて解きます。
が、
答えを単純な式で表すことができない(数学的に解けない)ので、試算法(試行錯誤法）によって解きます。実用的なことでは、よくあることなのですが、慣れないと面倒です。
ここで、
Q:伝熱量[J/s]
A:伝熱面積[m^2]
W:水の流量[kg/s]
C:水の比熱[J/(kg・K)]
t1:温水の入り口温度[℃]
t1':温水入口での大気温度[℃]
t2:温水の出口温度[℃]
t2'温水出口での大気温度[℃]
です。

2
U:総括伝熱係数(熱還流係数)
熱の伝わりやすさを表す係数です。こういう問題では、これの見積もりをいくつにするかによって、結果が変わります。できるだけ正確に知りたいということであれば、実験で決めますが、
一般的な値を参考に決めるしかないでしょう。

3
Δt:対数平均温度差
温水の温度と気温との差です。配管の位置によって、温度差が変わるので平均温度差を使います。平均といっても温度差は指数関数的な変化なので、対数平均になります。
これが単純ではないので、答えの結果を単純な式では表せないのです。

Δt=(Δt1-Δt2)/ln(Δt1/Δt2)　　　(ln は自然対数)

温水の入口での温度差、Δt1=t1'-t1
温水の出口での温度差、Δt2=t2'-t2

4
(1)=(2)
すなわち、

Q=UAΔt=WC(t2-t1)・・・・(3)

となるように、Qを求めればいい。

5
A=πDL
W=ρV

D:管径[m]
L:管長[m]
V:流量[m^3/s]
ρ:水の密度[kg/m^3]

です。

6
質問では、
D=10[mm]=0.01[m]
L=50[m]
V=100[L/min]=0.1/3600[m^3/s]=2.78*10^(-5)[m^3/s]
C=4.2[kJ/kg・K]
t1=95[℃]
t1'=0[℃]
t2=?
t2'=0[℃]

Uは、自然対流空気と強制対流液体で、5～15[W/(m^2・K)]とされることが多いので、
U=10[W/(m^2・K)]
としましょう。

7
これらのパラメータを各式に入れて、(3)式が成り立つようにします。

これを解くのはExcelが便利です。ソルバーを使うか、単純に数式を入れて、左辺=右辺になるまでt2を変えれば求まります。

で、これを解いてみると、

t2=94.8(℃]
Q=1480[W]

になります。

V=1[L/min]とすれば、

t2=76[℃]
Q=1340[W]

程度になるでしょう。

なお、#1の計算には不備があるようですが、
これも勘違いや計算間違いがあるかもしれませんが、それなりに。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。自分なりにじっくり検証してみます。どうも，分不相応の質問をしてしまったみたいで，難解な物理式にとまどいすら感じます。初心者のようで心苦しいのですが，

(1)W=J/sというのは，1時間当りの単位と理解していいのでしょうか。個人的な計画では20000kcal/hが必要（ボイラーからの直接の輻射熱等を含めてですが）と考えているのですが，この事例でも1480W＝1272kcal/hとなるのであれば，流速を落とし，銅管の太さを太くすれば達成不可能ではないような印象を持ちましたが，間違った理解でしょうか。

(2)関連して，流速100l/minの場合の放熱量が1480Wである一方，流速1l/minの場合の放熱量が，出口温度が76℃にまで下がる一方で1340Wの放熱量になるという結果には納得感がないのです。お湯の温度が下がる分だけ銅管からの放熱量は増加するはずと思うのですが，何か私の理解に欠落があるでしょうか。

教えていただけると助かります。

回答No.1

syohyuga

放熱量Q、温度差をΔT、放熱面積をA、総括伝熱係数をUとすると
　Q = U×A×ΔT

ここでUは保温の有無で変わりますが、保温なしで風がなければ3～5[kcal/(h m2 ℃)]程度です。
本当は管の内外の境膜伝熱係数を求める必要がありますが…。
ちなみに風があったらU = 10程度を見込めばよいでしょう。

ΔTは出口のお湯の温度がわからないので何とも言えませんが、例えば出口が50℃とすると、
　ΔT = {(80-0)-(50-0){/ln{(80-0)/(50-0)} = 63.8 [℃]
(ここでは一応対数平均温度としました)
内径基準の伝熱面積は総銅管長さを20[m]とすると(もっと長いかもしれませんが)
　A = π×0.01^2/4×20 = 0.00157 [m2]

よって放熱量QはU = 5として
　Q = 5×0.00157×63.8 = 0.5 [kcal/h]

以上の計算は配管全体を考えた場合ですが、出口求めるには当然微小区間の放熱量を積分
する必要があります。その場合もあくまで
　dQ = U×dA×ΔT　　　dA：単位長さあたりの放熱面積[m]
が成り立ちます。

お礼

ご回答ありがとうございます。0.5kcal/hという結論に驚き，もっと真剣に方法論を考えなければと思いました。かなりの示唆をいただいたので，物理に疎い私としても，検証作業に勤しんでみたいと思います。
　熱伝導にかかる計算までは辿り着くのですが，お湯の流速をどう計算に織り込むのかが不明なので，もう少し頭の整理をしたうえで，質問をしなおしてみようと思います。
　ありがとうございました。