調和数列の項間の関係式の求め方
- 調和数列の項間の関係式であるh_n = h_m/(1+(n-m)d)の導出方法が分からない
- 調和数列の特徴である逆数が等差数列になる性質について説明する
- 調和数列の特定の項と最初の項との関係式を導くために試行錯誤しているがうまくいかない
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調和数列の項間の関係式の求め方
調和数列 {h_n}を考えます。 (※調和数列:逆数 {1/(h_n)}が等差数列になる数列) 調和数列の項h_nとh_mとの関係式が、 h_n = h_m/(1+(n-m)d)となることを示したいのですが、 できずに困っております。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0%E5%88%97 h_n = h_1/(1+(n-1)d) , h_m = h_1/(1+(m-1)d) より、 h_n = h_m{1+(m-1)d)/(1+(n-1)d)}などとやってみたのですが・・・。 分かる方がいましたらよろしくお願い致します。
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>調和数列の項h_nとh_mとの関係式が、 h_n = h_m/(1+(n-m)d)となることを示したい この式は成り立たたないと思います。 簡単な調和数列の例として h_k=1/k を考えます。 h_1 = 1/1 h_k=(h_1)/(1+(k-1)d) で表せば、d=1 ということです。 n=3,m=2 としますと、 h_n = h_3=1/3, h_m = h_2=1/2 ご質問の式の 左辺=1/3 右辺=(1/2)/(1+(3-2)1)=(1/2)/(1+1)=1/4 正しい関係式はご質問にあるとおり h_n = h_m((1+(m-1)d)/(1+(n-1)d) でよろしいのではないでしょうか。
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お礼
ご回答どうもありがとうございます! 確かめてみましたらやはり成り立たないみたいです・・・。^^; Wikipediaに間違いがあるとは思いもしませんで、 お騒がせしましてすみません。 自分で代入して確かめるべきでした・・・。 助かりました。 どうもありがとうございました。