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三角関数
関数ｙ＝sinｘ＋cosｘ(０＜＝ｘ＜＝π)がある。 (問)関数ｙの最大値と、その時のｘの値を求めよ。 ０＜＝ｘ＜＝πから π/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４π となるのは分かるのですが 解答にはこれより －１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝１とあります。 なぜsinπ/４は－１/√２になったのですか?? 数学が苦手なので 詳しく書いていただけると助かります(´・ω・｀) よろしくお願いします^p^ ※文字化けしちゃったので しょうなりとイコールをわけてかいてます
- luvluvforu
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luvluvforuさん、こんにちは。 基礎から書きますので、理解されている部分は読み飛ばして下さい。 ちゃんと見られるかわかりませんが、画像も参考に添付します。 まず三角関数で一番大切なのは、 ｘ軸をsinθ、ｙ軸をcosθとした半径１の円を常にイメージすることです。 例えばθ＝π/4の時は、原点から右斜め上45度の線を描き、 半径１の円とその線が交わる点のｘ座標がsinθ、その点のｙ座標がcosθです。 (三角関数が苦手な学生の大半がこのイメージができていません) 半径１の円上の点のｘ座標やｙ座標は、１より大きくはなりませんよね？ だからsinθやcosθも１より大きくなることはないんです。 同じように、－１より小さくなることもありません。 では、今回の問題を見てみましょう。 今回の場合は、θ＝ｘ＋(π/4)ということになります。 つまり、(π/4)≦θ≦(5π/4) この場合、添付の図で円弧を赤くなぞった部分が当てはまるので、 ｙ座標であるcosθの値は θ＝(π/2)のときに最大値１となり、 θ＝(5π/4)のときに最小値(-1/√2)となります。解答と一致しますね。 ちなみに、θ＝(π/4)のときは、1/√2 なので最大値でも最小値でもありません。 つまり、θの値が大きくなっていく中で、 cosθの値はいったん大きくなっていき、θ＝(π/2)で最大値１になります。 でもそれ以降は、半径１の円のてっぺんを越えてしまうので、 ｙ座標の値であるcosθはそこからどんどん小さくなっていきます。 θ＝πになると、ｙ座標であるcosθは０になり、それ以降は負の値になります。 最終的にθ＝(5π/4)になり、ｙ座標であるcosθは最小値(-1/√2)となります。 まとめると、 θが大きくなるからと言って、sinθやcosθが大きくなるとは限らない。 言いかえると、 θが最小値や最大値のときに、sinθやcosθが最小値や最大値とは限らない。 今回の場合、 sin(π/4)が(-1/√2)になったのではなく、sin(5π/4)が(-1/√2)になっている。 以上、長くなってしまいましたが、わかるでしょうか？？ 常に半径１の円をイメージすると解きやすいですよ。頑張って下さい☆
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- yyssaa
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－１/√２はsinπ/４ではなく、sin５/４πの値です。 三角関数は周期関数ですからXの値の大小とsinXの値の大小が常に一致する という関係にはありません。 実際にπ/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４πの各辺のsinの値をそのまま書くと、 sinπ/４＝１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝sin５π/４＝－１/√２ となり、１/√２＜＝－１/√２という矛盾が生じます。 ｘ＋π/４がπ/４＜＝ｘ＋π/４＜＝５/４πの範囲にあるときに sin(ｘ＋π/４)がとり得る値は、ｘ＋π/４＝５π/４のときに最小となり、 その値は－１/√２、ｘ＋π/４＝２π/４＝π/２の時に最大（＝１）と なるので、－１/√２＜＝sin(ｘ＋π/４)＜＝１と書かれているのです。
お礼
自分が勘違いをしていたことが よくわかりました ５/４πがｙの最小値になるんですね! ＜と＝も別々に書いて下さって 大変助かりました^^ yyssaaさん 回答ありがとうございました*´ω｀
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