電荷に出入りする電気力線（高校物理）について

質問

十分広くて薄い板に単位面積あたり+ｑ[Ｃ/ｍ~2]の電荷が一様に分布しているときに、
板からｒ[ｍ]離れた点での電場の強さを求めるのに、
板の周りの電気力線の様子を考えて、板の単位面積から出る電気力線の本数を経由する場合の考え方がよく分かりません。

このとき、板の単位面積あたりの電気力線の本数は、4πｋｑ本と表してよいのでしょうか？
また、こういった問題を解くときの道筋など、提示していただけるとありがたいです。

回答No.1

lovebeliever · ベストアンサー

十分薄い、十分薄い、薄い薄い・・・
この４πｋｑ本は上下に出ていて合わせてということですか？
上下それぞれ２πｋｑ本ずつということはないですか？
宿題ですか。解答はあるんですか？
申し訳無い、ここに書いておきながら小生、高校物理とは縁とおく・・・

ある電荷量から出る電気力線の数。
ある点に電荷がＱ存在していたとすると、その点からは電気力線がＱ/ε本出るのです。
ここで使用したεは誘電率と呼ばれるものです。
あなたの使われているｋ（クーロン力定数）との関係は
ｋ＝１/（４πε）だった気が。

さて、ここからですが、
十分広くて薄い板に一様な電荷とありますので、
・電気力線は板に対して垂直
・電気力線は一様に分布、どの空間においても密にも疎にもなっていない
・ゆえに板からｒ[ｍ]離れようが、∞[ｍ]離れようが、電場のつよさも一緒
・上のことより、電場の強さがｒに依存しない形で求められることがわかる
こんなことがあげられますでしょうか。

ここで、十分広い板であることは承知のうえで面積をＳとさせてください。
そこにある全電荷をＱとさせてください。
すると、ｑ＝Ｑ/Ｓ
ここでガウスの法則(これについては後ほど)
εＥ・２Ｓ＝Ｑ
ｑ＝Ｑ/Ｓ
ｋ＝１/（４πε）
これらから
Ｅ＝２πｋｑ
ｒ[ｍ]離れた地点の電場の強さもまさにこれ！

肝心の求め方ですが
ガウスの法則というものがあります。
∫(εＥ)ｄＳ＝Ｑ
という関係なのですが、高校物理を超えています。
ぶっちゃけたはなし、
ある電荷Ｑがあって
その電荷Ｑを包む空間Ｓがあって
その空間から外に向かってる電場の強さＥと誘電率εがあれば
その電場Ｅを与えている位置の面Ｓで積分すれば
Ｑと等しくなるぞってな感じなのですが、
これではterrytapさんは高校生のかたみたいですので、全く分からないかもしれません。
それを承知で、上でいきなり飛び出た
εＥ・２Ｓ＝Ｑ
この式の説明！
これがまさにガウスの法則によるもの。
電場の強さＥはどこにおいてもこの場合同じ、
その電場の強さＥを与える閉曲面の面積は上と下とで２Ｓ(本当は違うけど電気力線に平行な部分の面積は考えないんです)。
その閉曲面の中にある電荷の量はＱ。
ゆえにこの式がたったんですね。

もっと、すばやくお答えすることができれば良かったのですが、お役に立てなかったかもしれませんね。頑張ってください。

お礼

上下2πｋｑずつです。言葉足らずでスイマセン。
宿題ではないのですが、課外のプリントといったところです。
解答は有りません。

ところで、自分で書いておいて言うのもなんですが・・・。
「ｋ」って、なんの指定も受けてないときにイキナリ使っても大丈夫ですか？

色々ありがとうございます。奥が深いですね。

回答No.2

lovebeliever

再び、lovebelieverです。
ｋについてですが、いきなり使用してもかまわないと思いますよ。
たしか、私が高校生だったときもいきなり使用していたような気がしますし。
高校時代はむしろ誘電率εなんか見た覚えないですしね(記憶違いか？)。
この便利な定数ｋですが、理工学系の大学に入り、教養あるいは基礎専門として電磁気学を習い始めると消え失せます。ご注意を！
ちなみに、大学受験についてなのですが、大学の先生は結構問題作成の際に高校課程を超えてるかどうかに無頓着のようです。
ちょっと前の私が通っている大学の入試で、”電子１個のメモリ”といった問題を出したとき、予備校などからクレームがきたそうです。
「高校物理の範囲を超越してる」と。
授業中に教授がそれを嬉しそうに話してました。
まあ、うちだとこんな感じです。
日本に大学がいくつあるかはしりません。
かなりの数あるうちのほんの１校の事例にすぎないのでご注意を！
頑張ってください。