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倍数の証明問題

m、nを1より大きい異なる整数とする時、m^3*n-m*n^3は6の倍数であることを証明せよ. m^3*n-m*n^3 =mn(m+n)(m-n) 6の倍数なので、三つの連続する整数であることを使うのかと思ったのですが、ちょっと出来そうにありません。 この問題はどうやって証明するのでしょうか? よろしくお願いしますm(__)m

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回答No.2

<1> ちょっとトリッキーだけど m^3n-mn^3 =m^3n-mn+mn-mn^3 =n(m^3-m)-m(n^3-n) =n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1) と変形できます。 (m-1)m(m+1)は3つの連続した整数の積です。 なので、その積は6の倍数になります。 (n-1)n(n+ 1)も同様です。 よって、m^3n-mn^3は6の倍数となります。 <2> ○まず2で割り切れるかどうかを調べます。 mまたはnが偶数ならばこの式は当然2で割り切れます。 mとn両方が奇数の時は(m+n)が偶数になるので したがってm、nの値によらず2で割り切れます。 ○次に3で割り切れるかどうか調べます。 mまたはnが3の倍数ならばこの式は3で割り切れる。 どちらも3の倍数でない場合、 m=3a+1、n=3b+1またはm=3a+2、n=3b+2のときは (m-n)が3で割り切れ、 m=3a+1、n=3b+2またはm=3a+2、n=3b+1のときは (m+n)が3で割り切れる。 したがってm、nの値によらず3で割り切れる。 2と3の両方で割り切れるので、6で割り切れる。

stripe
質問者

お礼

>m^3n-mn^3 =m^3n-mn+mn-mn^3 =n(m^3-m)-m(n^3-n) =n(m-1)m(m+1)-m(n-1)n(n+1) と変形できます。 というふうにもできるんですかー。 参考にさせていただきます。 ありがとうございました!

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回答No.1

stripeさん、こんにちは。 >m、nを1より大きい異なる整数とする時、m^3*n-m*n^3は6の倍数であることを証明せよ. m^3*n-m*n^3 =mn(m+n)(m-n) >6の倍数なので、三つの連続する整数であることを使うのかと思ったのですが 考え方としては、非常にいいと思うんですよ。 いきなり6の倍数は、3連続整数くらいじゃないといえないので 2の倍数であって、かつ、3の倍数である、ということを言えばいいと思います。 まず、mn(m+n)(m-n) が2の倍数であることを証明する。 m,nのどちらかが2の倍数なら、mnの部分が2の倍数になるので m=2k+1 n+2l+1 の場合を考えるので充分である。このとき、 m+n=(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1) となって2の倍数になる。 なので、m,nがどんな整数でも、mn(m+n)(m-n) は2の倍数・・・(1) 次に、3の倍数であることを証明する。 m,nのいずれかが3の倍数ならば、mnが3の倍数なのでこのときは証明いらない。 1)m=3k+1 n=3l+1のとき m-n=3(k-l)となるので、m-nが3の倍数であるから mn(m+n)(m-n) もまた3の倍数である。 2)m=3k+2 n=3l+1のとき m+n=3k+2+3l+1=3(k+m+1) となるので、mn(m+n)(m-n) は3の倍数 3)m=3k+1 n=3l+2 4)m=3k+2 n=3l+2 の場合も、同様に考えてみましょう。 1)~4)いずれの場合にも mn(m+n)(m-n) は3の倍数であることがいえます・・・(2) よって、(1)(2)より、 mn(m+n)(m-n) は6の倍数である、ということが証明されました。

stripe
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 >2の倍数であって、かつ、3の倍数である、ということを言えばいいと思います。 という方針でいくんですかー。 よくわかりました(^^) 参考にさせていただきます。

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