数学（行列，微分・積分、ベクトル）
- 次の微分・定積分を求めなさい。
- 行列Aについて固有値と固有ベクトルを求め、行列Aを対角化しなさい。
- 原点O(0,0)，点A(4,-1)，点B(2,2)がある時、ベクトルOAとOBの長さと内積、∠AOBのcosθとsinθ、三角形OABの面積を求めなさい。
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問1 次の微分・定積分を求めなさい。 (1)d/dx{log|cos(x)|} = -sin(x)/cos(x) (2)∫(0→1) xe^-x dx =1-2e^(-1) 問2 行列A= (3 4) (1 0) について以下の各問に答えなさい。 (1)行列Aの固定値と固有ベクトルを求めなさい。 Aの固定値は λ=4, -1 λ=4の場合の固有ベクトルは X1=C1(4,1) (C1:任意定数) λ=-1の場合の固有ベクトルは X2=C2(-1,1) (C2:任意定数) (2)(1) で求めた固有ベクトルを用いて、行列Aを対角化しなさい。 対角行列P= (4 -1) (1 1) とおく。 P^(-1)AP= (4 0) (0 -1) 問3原点O(0,0)，点A(4,-1)，点B(2,2)がある時以下の各問に答えなさい。 (1)ベクトルOAとＯＢ長さと内積OA*OBを求めなさい。 OA=<4,-1>,OB=<2,2> |OA|= √17，|OB|=√8 OA*OB=8-2=6 (2)∠AOBをθとする時，cosθとsinθを求めなさい。 cosθ=3/√34 sinθ=5/√34 (3)三角形OABの面積を求めなさい。 S=1/2|OA×OB|=5 問4 曲線 y =x^2 と直線y=2x によって囲まれた部分の面積を求めなさい。 S=∫(0→2) 2x-x^2= 4/3 解答がないため，解答のチェックをお願いしたいのですが，よろしくおねがいします。
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こちらも検算してみました。 おおむね正しいと思いますが、２、３表記に関してだけ。 問１ (1) -sin(x) / cos(x) = -tan(x) (2) 1 - 2e^(-1) = 1 - 2/e 問３ (3) S = (1/2)|OA×OB| = 5 これは答えは正しいですが、途中式の表記がまずい気がします。 OA, OB が３次元ベクトルならたしかに |OA×OB| = |a||b|sin(θ) ですが、これらは２次元ですからベクトル積は定義されません。 ２次元の場合はクロス積もスカラーになります。すなわち、 OA×OB = |a||b|sin(θ) です。
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詳しい解説ありがとうございました。