わからない問題があるので解いてくれませんか？

質問

屈折率１．４のガラスの表面に屈折率１．５の薄膜をつくり、波長６．０×１０の－７乗ｍの単色光を膜に垂直に入射させて、その反射光の強度を測る。
（１）反射光の強度が極大になる場合の、最小の膜の厚さはいくらか。
（２）（１）で求めた厚さの薄膜を、屈折率１．６のガラスの表面につくると、反射光の強度はどうなるか。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

薄膜の上表面で反射する光と、ガラスとの接着面で反射する光との干渉を調べます。
薄膜の厚さをｄとすると、２つの光の、光路差の光学距離は　２ｄ・ｎ（ｎは薄膜の屈折率）なので
次の２つのどちらの条件を満たすかで、判定します。
２ｄ・ｎ＝ｍ・λ　　　　　（条件　ア）
２ｄ・ｎ＝ｍ・λ＋(1/2)λ　（条件　イ）
なお、ｍは０以上の整数です。

反射光を考えるときには、２つの媒質の境界での反射によって、位相が変化するときと変化しないときとがあるので、そのチェックをしなければなりません。
光が、屈折率が大きい媒質の中を進み、屈折率の小さい方の媒質との境界で反射するときは、位相は変化しません。（山は山で戻り、谷は谷のままで戻る）
これに対して、光が、屈折率が小さい媒質の中を進み、屈折率が大きい媒質との境界で反射するときは、位相が逆転します。（山でぶつかると、谷になって帰ってくる…）

（１）屈折率１．４のガラスの表面に屈折率１．５の薄膜の場合。
空気（屈折率＝１と見なします）と薄膜の境界では、位相が逆転。薄膜とガラスとの境界での反射では、位相が変化無し。
このとき、条件アは、光が弱め合う条件、イが強め合う条件となります。
膜厚の最小値は、ｍ＝０の時のｄですから
ｄ＝(1/4)・(λ/ｎ)

（２）屈折率１．６のガラスの表面につくるのですから、今度はガラスと薄膜との境界での反射でも位相が逆転します。薄膜の上面でも下面でも位相が逆転するので、互いに逆転したことを打ち消し合ってしまうことになります。ですから、条件アが強め合う条件となり、条件イが弱め合う条件となってしまいます。
ｄ＝(1/4)・(λ/ｎ)
でしたから、光強度は小さくなります。

回答No.2

gtmrk

こんばんは。

すでに素晴らしい回答を出して頂いておりますので、
私からはイメージ重視の回答をしておきます。

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まずは、下に載せた絵のような３層構造をしっかり把握しましょう。
( )の中の数字はその層の屈折率です。
各層には色をつけてありますが、色の濃い物ほど屈折率が大きい層です。
屈折率が大きい層は『かたい』です。

問題を解く上で予め知っていなければならないのは
以下の２種類の反射です。

　●　自由端反射　：　波の位相はそのまま。
　●　固定端反射　：　波の位相が逆転する。

自由端反射は、屈折率が大きい層から小さい層へ入射したときに起こります。
『やわらかい』壁にぶつかるわけですから、波は『自由』に動けそうです。

固定端反射は、屈折率が小さい層から大きい層へ入射したときに起こります。
『かたい』壁にぶつかるわけですから、『固定』されてしまいそうです。

さて、では問題に戻りましょう。
まず入射光は空気と薄膜の境界で反射します。赤い矢印です。
これは『かたい』壁での反射ですから、固定端反射ですね？
すなわち、波の位相はここで逆転します。

それから、この壁を通過した一部の光は薄膜とガラスの境界で反射します。
青い矢印です。
これは『やわらかい』壁での反射ですから、自由端反射です。
すなわち、波の位相はここではかわりません。
ここで反射した光はそのまま空気の層へと突き抜けます。

すると、この２種類の反射光が【干渉】を起こします。
ということは、【干渉条件】の出番です。
注意しなければならないのは、２つの波が『逆位相』であるということです。
逆位相のときの干渉条件は

　(1)　　強め合う　：　光路差 = (m + 1/2) λ　（m = 0,1,2,...）
　(2)　　弱め合う　：　光路差 = m λ

となるのでした。m は 0 以上の整数、 λ は波長です。
問題は『光が強め合うところを求めよ』と言っているわけですから、
(1)式の方を使えばいいわけです。

では、光路差を求めましょう。これは絵を見れば簡単です。
青矢印は赤矢印に比べて、薄膜の厚み１往復分余計に走っていますから

　(3)　　光路差 = 2d　???

です？…違いますね。なぜなら、薄膜の中は空気中より動きづらいので、
『動きづらい分距離が長く感じる』からです。
その動きづらさを表すものこそ『屈折率』でした。
よって、光路差は

　(4)　　光路差 = 2d * 1.5 = 3d

とするのが正しいわけです。
このような見かけ上の距離のことを『光学的距離』と言います。
というわけで、(1)(4)式より、

　(4)　　3d = (m + 1/2) λ

という式が立ちます。m は 0 以上の整数なら何でもいいわけですから、
この式を満たす d は無限にあるはずです。
しかし、問題では『最小の d』を聞いてきているので、
m = 0 を突っ込んでしまえばよいでしょう。すなわち、

　(5)　　3d = λ/2
　　　　　　⇔　d = λ/6 = 1.0×10^(-7) [m]

となり、反射光が強め合う薄膜の最小の厚さ d が求まりました。

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では、ガラスの屈折率が 1.6 だったらどうでしょう。
下の絵を脳内変換して下さい。
赤矢印も青矢印も『かたい壁』にぶつかっているのが見えましたか？
そう、この場合はどちらも固定端反射をします。

ということは、両方とも位相が逆転するので、
結局２つの反射光は『同位相』ということになるでしょう。

同位相の場合は、干渉条件がさっきとは逆になるのでした。
すなわち、(1)が弱め合い、(2)が強め合いの条件です。
先程の結果

　(5)　　d = 1.0×10^(-7) [m]

は、(1)式から求めたものですから、この場合これは
『反射光の強度が極小になる最小の d 』ということに
なってしまうわけです。