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三角錐に内接する球
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体積を2通りの方法で表します。 1. (1/3) x (底面積) x (高さ) 2. (1/3) x (△ABC + △ACD + △ADB + △BCD) x (内接球の半径) 1と2が等しいので内接球の半径が計算できます。
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- Har-mo-nize
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この問題の場合、△ABC、△ACD、△ADBの3辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形であるので、そのことを利用してもよいと思います。 頂点Aから平面BCDまでの距離は2√3 (三角錐の体積の式などから求めるのが一般的。点と平面との距離から求めてもよい。) 内接球の中心をI、半径をrとすると、AI=(√3)r、点Iから平面BCDまでの距離はr 従って 2√3 = (√3)r+r #1が最もシンプルで一般性のある解法だけどね。
- banakona
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3(√94)/4 って7以上あるよ。直径にしたって長すぎる。 #1でも#2でも答えは同じ。半径は3-√3
- info22_
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考え方は#1さんので良いと思います。記号は#2さんの決めた記号を使えば S=△BCD=(1/2)BC*BDsin60°=18√3 余弦定理より cos∠ADE=(AD^2+DE^2-AE^2)/(2AD*DE)=7(√6)/24 sin∠ADE=√{1-(cos∠ADE)^2}=(√282)/24 AH=ADsin∠ADE=(√282)/4 三角錐体積V=S*AH/3=9(√94)/2 S1=△ABC=△ABD=△ACD=(1/2)AB*AC=18 (∵△ABDは直角二等辺三角形) V=(1/3)(3S1+S)r より 内接球の半径r=3V/(3S1+S)=3(√94)/4
- yyssaa
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△BCDの中心と各辺との距離aを求めます。△BCDは一辺が6√2の正三角形なので a=(1/2)*(6√2)*tan(π/6)=(3√2)*tan(π/6)・・・(1) 次に点Aと辺BCの中点との距離bを求めます。三平方の定理より b=√{6^2-(3√2)^2}・・・(2) △BCDの中心をE、辺BCの中点をFとすると△AEFはEF=a、AF=b、 ∠AEF=π/2の直角三角形になります。 三角錐ABCDに内接する球の半径をRとし、辺AE上にEG=Rとなるように点Gを定めると、点Gから辺AFに下ろした垂線GHの長さもRとなります。 △AEFと△AGHは相似ですから、AE=cとしてc=√(b ^2-a^2)・・・(3) b/a=(c-R)/R・・・(4)となります。 この(4)に(1)~(3)で求めたa、b、cを代入してRを計算することが出来ます。
- banakona
- ベストアンサー率45% (222/489)
BCの中点をEとすると、対称性から球の中心Oは△AED上にある。 Aから△BCDに垂線を下ろすと、対称性からOはこの垂線上にある。 垂線と△BCDの交点をHとすると、△AEDの概形は右図のようになる(球とADが接しないことに注意)。 △ABEで三平方の定理を使うと、AEが求まる。 △BCDは正三角形だからDEの長さは簡単に求まる。なんなら△DBEで三平方の定理を使ってもいい。 Hは△BCDの重心に一致するからEHの長さも求まる。 △AEHで三平方の定理を使うと、AHが求まる。 球と△ABCの接点をJとし、球の半径をrとすると△AOJ∽△AEHから方程式を立てることが出来る。 ここからrを求める。 解法は示したから解は自分で出して。
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