微分方程式で問題が・・・
- 大学の微分方程式の講義のレポートが出たのですが、全く分からず途方に暮れています。
- 問1：周囲の温度が２０℃のところで、コーヒーカップに９０℃のコーヒーを入れたら、１０分後には６０℃になっていた。２０分後、３０分後にはそれぞれ何度になっているかをニュートンの冷却法則を使って求めよ。
- 問2：宇宙線の照射を受けた上空で放射線同位体炭素14Cが生成され古生物の体内に吸収される。古生物が死ぬと、14Cの原素数N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例する。崩壊係数をλ、半減期を5760年として、上記の微分方程式を立てて解け。
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微分方程式で問題が・・・
大学の微分方程式の講義のレポートが出たのですが、全く分からず途方に暮れています。 問題は2つ。 問1 周囲の温度が２０℃のところで、コーヒーカップに９０℃のコーヒーを入れたら、１０分後には６０℃になっていた。２０分後、３０分後にはそれぞれ何度になっているかを次のニュートンの冷却法則を使って（1）（2）（3）の手順に従って求めよ。 (注)ニュートンの冷却法則：冷却速度は温度差に比例する （1）微分方程式を立てる。温度T（℃）、時間をtとする。 （2）微分方程式を解く。 （3）初期条件から定数を求める。 問2 （1）宇宙線の照射を受けた上空で放射線同位体炭素14Cが生成され古生物の体内に吸収される。 古生物が死ぬと、14Cの原素数N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例する。 崩壊係数をλ、N(0)=N0として、上記の微分方程式を立てて解け。 （2）放射性同位体元素の数が半分になる時間を5760年として、λを求めよ。 （3）１７００年経つと14Ｃｈａ初期に比べて何％に減っているか。 の２問です。 できれば途中式などもよろしくお願いします。
- guren1211
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問１ 冷却速度ｄＴ／ｄｔが外気温との温度差に比例するので ｄＴ／ｄｔ＝ｋ（Ｔ－２０） 変数分離して （１／Ｋ（Ｔ－２０））ｄＴ＝ｄｔ 積分して ｌｏｇ（Ｔ－２０）／ｋ＋Ｃ＝ｔ （Ｃは積分定数、ｌｏｇは自然対数） ｌｏｇ（Ｔ－２０）＝ｋｔ＋Ｃ’ （Ｃ’＝－ｋＣ） ｔ＝０のときＴ＝９０なので ｌｏｇ７０＝＋Ｃ’ ・・・（１） ｔ＝１０のときＴ＝６０なので ｌｏｇ４０＝１０ｋ＋Ｃ’・・・（２） （１）と（２）を連立させればｋとＣ’が求められます。こうして導いた式にｔ＝２０、３０を代入すれば２０分後、３０分後の温度も計算できます。 問２ N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例するので ーｄＮ（ｔ）／ｄｔ＝λ・Ｎ（ｔ） とおくと問１と同じ形になります。 微分方程式が解けたら ｔ＝０のときＮ（ｔ）＝Ｎ０ ｔ＝5760のときＮ（ｔ）＝Ｎ０／２ としてやると係数、積分定数が判ります。ここまでできたら（３）はｔ＝１７００を代入するだけです。
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