平面梁の支持点に掛かる荷重の求め方

質問

十分に剛性のある平板（形状は台形で材質は板厚50mmのアルミ板）の4隅を柱で支えて、
その上の任意の場所に荷重を加えた(人が乗る)場合の各柱に掛かる荷重を求めたいのですが、
どのように求めたらよいのでしょうか。
実際は撓みが多少ありますが、簡略化の為まずは剛体として計算しようと思います。
また、4隅の支点と平板は遊離しないものとします。

建設のページで床や天井の強度計算用に交差梁の計算は載っていますが、
交差梁では荷重点と支持点が一直線上にあるので理解しやすいのですが、
今回の場合支持点同士を結んだ交点やその直線状に荷重点が無いため悩んでいます。

回答No.2

masa2211 · ベストアンサー

＞4隅の支点と平板は遊離しないものとします。
この意味を、支点が上向きの力を受けてもよい　　という意味に解釈します。

剛体として解こうとしても解けません。この構造は不静定です。
（平板が等脚台形で、荷重が中心線上のときは例外です。）

何故かは、Quarksさんが理由を半分だけ書いています。
＞Ｆの作用点を回転中心として
＞Ｒa×<FA>＋Ｒb×<FB>＋Ｒc×<FC>＋Ｒd×<FD>＋Ｍg×<FG>＝０　式（２）
＞（補足）回転中心をＢ，Ｃ，Ｄにとっても構いません。式がたくさん作れますが、そのうちの何本かは同値です
何本かは同値でなく、回転中心をどこにとっても同値になるため、複数とってもダメ。
（ただし、Ｘ軸方向とＹ軸方向で式が作れるから、未知数２つ分です。）
よって、力のつりあい式が1つなので、支点３つの場合に限り、つりあいだけで解けます。
支点が４つある場合、剛体でなく、板のたわみを考える必要があります。

近似解でいいなら....

細長い台形の場合　（ＡＤ間が長いとする。）
普通に単純梁で解く。
（ＲＡ＝ＲＢ、ＲＣ＝ＲＤとなる。）

辺の長さがだいたい等しい場合
対角線ＡＣで三角形２枚に分離し、支点力を求める。
対角線ＢＤで三角形２枚に分離し、支点力を求める。
両者の平均を解とする。

実際に精密解と比べたことは無いので、どの程度の近似なのかは定かでありません。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
ご指摘の通り方程式が解けませんでしたので、近似解で求める事にしました。

回答No.1

Quarks

基本は、どんな場合でも同じです。力の釣り合いと、モーメントの釣り合いを条件として、各力の関係を数式化することになります。

平面梁上に、x-y座標を取ってみましょう。

平面梁の四隅の位置の座標
Ａ(x1,y1)：Ｒaが掛かる
Ｂ(x2,y2)：Ｒbが掛かる
Ｃ(x3,y3)：Ｒcが掛かる
Ｄ(x4,y4)：Ｒdが掛かる
と、荷重Ｆが掛かる位置Ｅ(x5,y5)
平面梁の重心：Ｇ(x6,y6)
とします。
（簡略化するため、どれかの位置を原点(0,0)、他のどれかをｘ軸（またはｙ軸）上に来るように設定します。このように座標軸を設定すると、以下の関係式が少しは簡単になるでしょう。）
なお、x1～y4は　初めから与えられる数値で、x6とy6は形状が平面梁の形状が決まれば一意に決まるので、これも最初から与えられている数値です。x5,y5はその都度Ｆを加える位置で決まりますので、これも与えられた数値です。

結局、未知数は　Ｒa，Ｒb，Ｒc，Ｒdの４個だけですから、これらの未知数を含む４本の方程式を作ってやれば良いわけです。

力のつり合いから
Ｒa＋Ｒb＋Ｒc＋Ｒd＝Ｆ＋Ｍg　　式（１）
Mgは平面梁の重さです。

任意の点の周りで、６つの力のモーメントの和＝０　が成り立っています。
これらの中から

Ｆの作用点を回転中心として
Ｒa×<FA>＋Ｒb×<FB>＋Ｒc×<FC>＋Ｒd×<FD>＋Ｍg×<FG>＝０　式（２）
　<FA>などの表記は、点Ｆから点Ａに向かうベクトルなどを表すことにしました。

Ｇの作用点を回転中心として
Ｒa×<GA>＋Ｒb×<GB>＋Ｒc×<GC>＋Ｒd×<GD>＋Ｆ×<GF>＝０　式（３）

Ａを回転中心として
Ｒb×<AB>＋Ｒc×<AC>＋Ｒd×<AD>＋Ｆ×<AF>＋Ｍg×<AG>＝０　式（４）

これで式が４本得られましたから、これらの中に同値の方程式が含まれていなければ、Ｒa，Ｒb，Ｒc，Ｒd　を、x1～y6,Ｆ,Ｍgで表現できるはずです。

（補足）回転中心をＢ，Ｃ，Ｄにとっても構いません。式がたくさん作れますが、そのうちの何本かは同値ですから、実質的に式は４本となります。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
単純梁だろうが、平面梁だろうが、モーメントで考えれば良いんですね。
各支点と荷重点、重心の距離だけで考えていたので、
何度計算しても力の和が釣り合わずに困っていました。
ベクトルで考えれば良かったんですね。
このやり方で計算してみます。