円、おうぎ形の問題

質問

次の問題の解答がさっぱりわからなくて困っています。
板書を任せられているので、正確な解答をしていただけるとありがたいです。

長さ4の線分ABについて、2点A、Bを中心にそれぞれ半径4の円をかき、
交点の1つをPとする。

（1）△ABPに内接する円O1、BPを弧とするおうぎ形ABPに内接する円O2について

（円O1の半径）=ア√イ/ウ、（円O2の半径）=エ/オ

（円O1の面積）：（円O2の面積）=1：カ/キ　であり、

円O1の中心をO1、円O2の中心をO2とすると

O1O2=ク-ケ√コ/サ　である。

（2）線分AB、弧AP、弧BPのすべてに接する円O3の中心をO3とすると

sin∠O3AB=シ/ス　であり、

△O3ABの外接円O4の半径はセソ/タチである。

また、点A´が円O4の周上にあるとすると、△O3A´Bの面積の最大値は　ツテ/トナ　である。

ちなみに、O1の半径→1/2・4・4・sinA=1/2r（4+4+4）よりr=2√3/3 　までは求めました。

回答No.1

noname#224896 · ベストアンサー

（１）
２：r1 = √３：１より，
r1=(2√3)/3　．．．（解答）
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ここまではいいんですよね．
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O2の半径をr2とすると，
円O1の中心から円O2の中心までの線分の長さは，
2 r2と表せる．（∵ 三角比より，2 r2 sin３０°=r2）
よって，その線分と円O2の半径r2との和は，
ＡＢの長さと等しくなる．つまり，
3 r2 = 4
∴　r2 = 4/3　．．．（解答）

(円O1の面積)：(円O２の面積)
＝π(r1)² ： π(r2)²
⇔　(r1)² ： (r2)²
⇔ 4/3 ：　(4/3)²
⇔ 1　： 4/3 　．．．（解答）

O1O2
＝　AO2-AO1
＝　2 r2 - 2 r1　（∵　三角比より）
＝　8/3 - (4√3)/3
＝　(8-4√3)/3　．．．（解答）
あれ．．．ここは，
『O1O2=ク-ケ√コ/サ』じゃなくて，
『O1O2=（ク-ケ√コ）/サ』じゃないかな．
１桁の正の整数と分離することは無理です．
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（２）
線分ＡＢの中点をＭとする．
△AO3Mで考える．
線分ＡO3の長さをL，
sin∠O3AB＝sin∠O3AM=sinθと置くと，
sinθ＝r3/L，
Ｌ + r3 = ABの長さと等しくなるので，
三角比より，
sinθ = r3 /(4-r3)　．．．(1)
cosθ=2/L = 2/ 4 - r3
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r3/sinθ + r3 = 4
r3(1/sinθ + 1) = 4としても求まります，
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ここで，sin²θ+cos²θ=1より，
(r3 /(4-r3))² + (2/ 4 - r3)² = 1
これを解くと，r3 = 3/2　．．．（解答）

∴ L = AB - r3
= 4 - 3/2
L =5/2　．．．(2)

(1)に代入すると，
sinθ = （3/2） /(4-3/2)＝3/5
つまり，sin∠O3AB＝3/5　．．．（解答）　．．．(3)
ちなみに，cos∠O3AB=4/5　．．．(4)
（∵　sin²θ+cos²θ=1）

次に，△O3ABとその外接円の半径r4について考える．
sin∠O3AB＝sin∠O3AM=sinθと置くと，
正弦定理より，
L/sin∠O3AB = 2r4　が成り立つので，
(2)，(3)より，
L = 2 r4 sin∠O3AB
5/2 = 2 r4 (3/5)
r4 = 25/12　．．．（解答）

また，△O3A´Bの面積が最大となるのは，
線分O3Bの垂直二等分線と△O3A´Bとの交点のうち，
遠い方にA'が来た時である．
　つまり，線分O3A'と線分A'Bの長さが，
等しくなるような位置に点A’がきたときである．
つまり，△O3A´Bは二等辺三角形であり，
その面積を求めれば良い．

∠O3AB＝∠O3A'Bより，
円O4の中心をO4，
線分BO3の中点をQと置くと，
∠O3BA'＝（1/2）∠O3AB＝θ/2となる．
そして，
求めたい△O3A´Bの高さに相当するA'Qの長さは，
r4 cosθ＋r4
底辺に相当するBO3の長さLを用いると，
求める△O3A´Bの面積の最大値は，
(r4cosθ+r4)L/2
=(25/12)(4/5 + 1)*(5/2)/2
=(25/12)(9/5)(5/2)/2
=75/16　．．．（解答）
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以上です．

お礼

丁寧な解答、ありがとうございました!!
とても助かりました!!

回答No.2

Kules

ついに「正確な回答」を書く人が現れましたね～よかったですね。
http://okwave.jp/qa/q7077872.html
私の前回の回答から自力で解答を作れないのであれば、
黒板の前に出た時に「すみません、自力では(1)しか解けませんでした」
と言って謝った方がいいと思います。

以上、ご参考までに。

お礼

Kules様にヒントをご教授いただき、解答の指針を立てることができました。
ありがとうございました!!