東大の確率問題の解法についての疑問
- 東大の過去問で確率の問題が出題されます。1984年に出された問題で解法の意味が分からないという疑問があります。
- 問題では、各世代ごとに確率pで１個、確率1-pで２個の新しい個体を次の世代に残す細胞の挙動を考えます。
- Pn（2）とPn（3）を求める際、第n世代にm個となる確率を考えるため、第k世代以降の挙動も考慮する必要があります。
- ベストアンサー
東大の過去問で確率の質問です。
1984年に東大文理共通問題として、 第５問で出された確率の問題で解法の意味がわからないので 教えて頂きたいです。 【問】 各世代ごとに、各個体が、他の個体とは独立に、確率pで１個、 確率1-pで２個の新しい個体を次の世代にに残し、それ自身は 消滅する細胞がある。いま、第０世代に１個であった細胞が、 第n世代にm個となる確率を、Pn（m）とかくことにしよう。 nを自然数とするとき、Pn（1）、Pn（2）、Pn（3）を求めよ。 【解】 Pn（1）は省略します。 Pn（2）を求める。 はじめて２個になるのが第k世代（1≦k≦n）である場合の確率は、 第k-1世代では１個で、第k世代で２個となり、その２個それぞれについて 第k+1世代から第n世代までのn-k個の世代は１個のままである確率なので・・・ （以下計算） n≧2のとき、Pn（3）を求める。 はじめて２個になるのが第k世代（1≦k≦n-1）である場合の確率は、 第k-1世代では１個で第k世代で２個となり、その２個のうち一方について 第k+1世代から数えてn-k世代目にあたる第n世代で２個になり、 他方については第k+1世代から第n世代まで１個のままである確率なので・・・ （以下計算） ちなみに赤本の解法です。 ここで、私が疑問に思うのは 「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」 と定義してあるのに、なぜ、Pn（2）を求める際に２個となった第k世代以降のことも 考えなければならないのか、ということです。 「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」であれば、 この解法でも納得がいくのですが・・・ さらに疑問に思うのは、 Pn（3）を求める時には第n世代で一方が２個になったところまでしか考えていないところです。 たしかに、「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」と定義してますから、 一方が２個、すなわち全体で３個になったところで終わりにするのは理解できます。 しかし、これでは、P（2）を求める時の考え方と違うと思うのです。 「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」と解釈するのであれば、 全体で３個になった以降のことも考えるべきだと思います。 Pn（m）の定義をどう解釈すれば、Pn（2）とPn（3）の解法両方をすんなり理解できるのでしょうか。 また、私の考え方のどこが間違っているのか指摘して頂けるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- annabe
- お礼率81% (22/27)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数5
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんわ。 いずれの場合もどのようなことを書いているのか、 視覚化（見える化）した方がいいですね。 添付のような図を考えてみました。 【Pn(2)】 n世代の手前のどこかで、個体数が＋１となるイベントがあればいいことになります。 【Pn(3)】 まず、第 0世代では細胞は 1個しかないので、いきなり 3個になることはありません。 つまり、スタート 1個→ ＋１→ ＋１という遷移をおこないます。 ＞Pn（3）を求める時には第n世代で一方が２個になったところまでしか考えていないところです。 少し言葉が足りないかと思います。 第 n世代で「2つある細胞の内、どちらか一方が 2つになる」ということです。 そして、それは n-k世代の間に起きなければなりません。 その n-k世代のところだけをみると、ちょうど Pn(2)を考えているときと同じになっています。 違うのは、2つのうちどちらか一方の細胞を「選択」しないといけない分だけ、 場合の数があることです。
その他の回答 (3)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
「となる確率」は、確かに、微妙な言い方ですね。 「となっている確率」のつもりで言っている んでしょうけどね。 赤本の解法で「である確率」を求めてしまえば、 それを使って、貴方の意味での「となる確率」 を求めることもできます。 ただし、試験であれば、出題者の気持ちを汲んで 題意を受けとることも必要でしょう。 A No.2 さんの解釈が、常識的かと思います。 Pn(3) については、 2 個になった後の処理に Pn(2) を使っていますから、 3 個になった後のことは、そこで考慮されています。 「である確率」のほうが計算されているのです。
お礼
なるほど、「となっている確率」と解釈すれば良かったんですね。 出題者の意図をもう少し読みとれるようになりたいものです。 ３個になった時点で終わりにしてたのはそういうわけだったんですね。 すっきりしました。 回答ありがとうございました。
- f272
- ベストアンサー率46% (7995/17088)
A. 「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」 B. 「第n世代にm個“である”確率を、Pn（m）とかく」 この二つは同じこと。Aでは別に第n世代に初めてm個になるとは言っていない。
お礼
同じことだったんですね。 私が深く考え過ぎたのかもしれません。 回答ありがとうございました。
- itaitatk
- ベストアンサー率38% (751/1976)
ここで、私が疑問に思うのは 「第n世代にm個“となる”確率を、Pn（m）とかく」 と定義してあるのに、なぜ、Pn（2）を求める際に２個となった第k世代以降のことも 考えなければならないのか、ということです。 ここを考えないと最終的に何個になるかを考えていないということになるからです。ｋの時点で二個になりその後1個増えて一個死ね場合でした最終的に2個にならないので
お礼
確かにそうですね、そこまで考えてませんでした。 回答ありがとうございました。
関連するQ&A
- 極限について(確率で使用)
確率の問題で、微積分を使うものがあるのですが、 微積分が苦手です。どなたかご教授ください。 ∞/∞は極限の不定形であると思うのですが… とある確率Pnと、lim[n→∞]Pnを求める際、 Pn=f(n)/g(n) f(n)=3(n-1)(n-2)+45n(n-1)(n-2)+2(2n-1)(2n-2)+24n(2n-1) g(n)=24(6n-1)(6n-2) となりました。 ここで、Pnが約分できずに困っていたのですが(問題自体が極限の問題なら強引に約分して求めるところですが、確率なのでスマートに約分できないか考えていました)、参考書の回答を見ると、 上記のPn導出過程までは同じで、その後 lim[n→∞]Pn=(3+45+2・2・2+24・2)/(24・6・6)=13/108 となっており、混乱しております。 (∞+x=∞として、∞/∞=1としている?) ここの詳細について、どなたかご教授ください。 ちなみに問題はやや複雑ですが、参考のため載せておきます。 nを自然数とする。袋Aに4n個の白玉と2n個の黒玉を、袋Bにはn個の白玉と5n個の黒玉をいれる。 いまここに、1/4の確率で袋Aを、3/4の確率で袋Bを取り、そこから3個の玉を同時に取り出す時、白玉の方が多ければ袋A、黒玉の方が多ければ袋Bと判定するとする。 判定が誤っている確率をPnとする。 lim[n→∞]Pnを求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率（漸化式）
ある工作機械が２日連続して故障する確率は1/3 ２日連続して故障しない確率は1/2 今日、この機械が故障したとすると、n日後この機械が故障しない確率を求めよ。 という問題で、n日後に故障しない確率をPnとおくと、計算過程を省くと Pn＋1-4/7=-1/6(Pn-4/7) ※Pn＋1はPnのnをn＋1に書き換えたものです。 となり、 これを変形すると、数列{Pn-4/7}は、初項P0-4/7、公比-1/6だから Pn-4/7=(P0-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ∴Pn=(-4/7)(-1/6)^n-1＋4/7 ※P0とはPnにおいてn=0 となるはずだと思うのですが、参考書には Pn=(-4/7)(-1/6)^n＋4/7 となっているんです。 ご指摘よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率
2枚のカードA,Bを表向きに１つの机に並べる。カードは1回机を叩くとpの確率で裏返り、一度裏返ったら元には戻らない。0<p<1とし、2枚のカードは互いに独立している（同時に裏返る必要は無い）。 (1)n回叩いて初めてA,B共に裏になる確率Pnを求めよ という問題で、 (ⅰ)n回目で同時にA,Bが裏返る確率 裏返らない確率が(1-p)より、 (1-p)^｛2*(n-1)｝*p^2 (ⅱ).n-1回目以前にBが裏返っていて、n回目にAが裏返る確率 (1-p)^(n-1)*p^2+(1-p)^n*p^2+・・・+(1-p)^(2n-3)*p^2 ＝p*(1-p)^(n-1)*｛1-(1-p)^(n-1)｝ (ⅲ).n-1回目以前にAが裏返っていて、n回目にBが裏返る確率 これは(ⅱ)と同じ確率 これらは同時に起こらないので１～３まで足して Pn=2p*(1-p)^(n-1)*｛1-(1-p)^(n-1)｝＋(1-p)^(2n-2)*p^2 としたんですが、値が大きすぎて間違っているのではないかと思います。 場合分けの通りにも問題はないはずですし 計算も間違えてはいないと思うのですが、 最後のPnの値をもう少し小さく出来るのでしょうか？ わかる方いましたらお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 簡単な確率の質問です
【質問１】 ｎ個の玉から無作為に一つを選び出す行為をｎ回行うという試行の結果、 それぞれの玉が選ばれる確率はいずれも１になると思うのですが、これはどうしてですか？ 一回の行為で、それぞれの玉が選ばれる確率は１／ｎ それをｎ回繰り返すから（１／ｎ）・ｎ＝１ これで良いのですか？ 【質問２】 質問１と同じ試行の結果、 いずれかの玉がｐ回（０≦ｐ≦ｎ）選ばれる確率はいくつになりますか？ 特定の一つの玉について、 その玉が０回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－０）＋（１／ｎ）・０ その玉が１回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－１）＋（１／ｎ）・１ その玉が２回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－２）＋（１／ｎ）・２ ・・・ その玉がｐ回選ばれる確率は（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ これがｎ個の玉いずれにも成り立つので、答えは （（（ｎ－１）／ｎ）・（ｎ－ｐ）＋（１／ｎ）・ｐ）・ｎ これで合ってるでしょうか？ 表計算ソフトで数字を入れるとどうも間違ってる気がするのですが。 根本的に間違っているかも知れません、助言お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 確率についての質問
確率についての質問です。 http://www.mainichi-msn.co.jp/shakai/edu/jyuken/daigakubetsu07/graph/toudai1/sugakub/5.html 上記のサイトにご質問の問題が掲載されています。 ちなみにこのサイトは大学入試の問題を公表しているページです。 その第５問の（１）の問題で 解答を見ると、 m＝nのとき ： n回とも表で、Pn＝P^n ０≦m≦n-1のとき ： 最後のm回が表で、最後からm＋１回目が裏の場合だから、Pm＝（１－P）P^m というように書いてありました。 全体的に解答を見てもわからないのですが、 とくに、こういった問題ではまず何を考えればよいのでしょうか？ Pn＝P^nのPnの意味もよくわかりません。 m＝nのときと比べる場合、０≦m≦n-1のときではなく、m≠nのときではだめなのでしょうか？ 本当に基礎的なことだとはわかっているのですが、「≦」と「＜」の違いってなんでしょうか？ 「最後のm回」とかいてありますが、硬貨の投げた回数はmではなくnではないのでしょうか？ 「最後からm＋１回目が裏」となぜわかるのでしょうか？ あと、問題文に書いてある「ただし、0＜P＜１とする」ことで、何か変わるのでしょうか？ また、問題文に書いてあるPmとは何のことでしょうか？ かなり基礎的な質問になってしまい、ごめんなさい m(_ _)m 数学は、大の苦手なのでよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
図がとてもわかりやすくて感動しました。 確かにn-k世代間はPn（2）と同じですね。 わざわざありがとうございます。 こういう風に自分でもわかりやすい図をイメージできるようにしたいです。 回答ありがとうございました。