- ベストアンサー
数列の問題で・・・
こんにちは。ある課題の問題で、どう手をつけていいのかわかりません。 Σ(n-k)coskθ cosk=cosのk乗 Σはk=1でn-1まで 私は数学が苦手で、なんとも手が付けられません。一応、高校の数学の参考書とにらっめこしましたが、さっぱりです。ぜひ僕にご教授を m(__)m 解き方のヒントでもいいです。結構困っています。
- ouenvirosnctchem
- お礼率96% (24/25)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
F(θ)=Σ(n-k)cos^kθとおきます。これをcosθ倍して cosθF(θ)=Σ(n-k)cos^(k+1)θ となります。この式でΣをk=1からn-1まで動かす代わりに k=2からnまで動かすと考えれば、 cosθF(θ)=Σ(n-k+1)cos^kθ となることがわかります。そこで cosθF(θ)-F(θ)=cos^nθ+cos^(n-1)θ+…+cos^2θ-(n-1)cosθ がわかります。この右辺をよくみると等比数列の形をしているから、 (右辺)=cos^2θ(1-cos^(n-1)θ)/(1-cosθ)-(n-1)cosθ となります。これを(cosθ-1)で割れば求める答えです。 とても綺麗とはいえませんが、整理すれば {-(n-1)cosθ+ncos^2θ+cos^{n+1}θ}/(1-cosθ)^2 になると思います。一応確認されてください。 なおこの手の数列の和の問題は次のように考えるのが基本です。 F=Σ(kの一次式)a^k とおいて、Fのk倍を考えます。 そうするとkF-Fでは一次式の階差が定数[まあようするに微分のようなものです] になって、階差はただの等比数列というわけです。 一般にΣ(kのn次式)a^kの形の数列の和は 第n階差までとれば等比数列になることがわかります。 なおθ=0,±2π,…のときは別に計算(0ですが)してください。
関連するQ&A
- 数列の問題
数列の問題のようなんですけど十分考えましたが全く分かりません。 誰か解ける人がいたらといてくれませんか？ お願いします θはcosθ＝１/３かつ０＜θ＜π/２をみたす実数とする (１)自然数ｋに対して cos(ｋ＋１)θ＝２/３cosｋθ－cos(ｋ－１)θ が成り立つことを示せ (２)数列｛Ak}を A0(ゼロ)=1 A1=1 Ak＋1＝２Aｋ－９Aｋ－１ により定義する このときすべての自然数ｋに対して Aｋ＝３のｋ乗cosｋθ であること、およびAkは整数であり３の倍数ではないことを示せ (３)θ/πは無理数であることを示せ ほんとに困ってます よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の数列についてです。
数学の数列についてです。 ※[n]Σ[k=1]は「k=1からnまで」です。また、(ｎ＋α)^2は「（ｎ＋α）の二乗」です。 (ｎ＋１)^2＋(ｎ＋２)^2＋………＋(２ｎ)^2＝[n]Σ[k=1]（ｎ＋ｋ）^2 となるんですけど… 『(ｎ＋１)^2＋(ｎ＋２)^2＋………＋(２ｎ)^2』の最後は『（２ｎ）^2』なのに『[n]Σ[k=1]（ｎ＋ｋ）^2』となるのでしょうか？ 教えていただけると嬉しいです。見づらくてごめんなさい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題
０＜α＜１ ２のn-1乗の整数部分をa(n)，小数部分をb(n) とすると， nが奇数のとき０≦b(n)＜1/2 nが偶数のとき2/1＜b(n)＜１ 〔b(n)というのは，数列{b(n)}の第n項という意味で使われているものです。〕 であるという。このときαの値を求めよ。 _＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 何の気なしに図書館にあった新数学演習を読んでいたらでてきたのですが，解説の意味が分からず，気になっています。 その解説とは，序盤において ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ０≦b(2k-1)＜2/1，2/1＜b(2k)＜１ よって b(2k)＝２b(2k-1)，b(2k+1)＝2b(2k)-1 という箇所です。 どうしてこの２式が出てくるのか，教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学III、区分求積法の問題について
高校数学 数学III、区分求積法についての質問です 以下の問題の解法が分かりません 途中過程のヒントをいただければ幸いです lim(n→∞)〔√(1+(k/n^2)）/n〕 わかりにくくてすいません・・・ √の中に1+k/ｎ^2が入ります 1/nは√には入らないです ^はnの２乗という意味です 数式をパソコンで打つのすら難しい・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の和の極限と定積分の問題
学校の数学IIIで数列の和の極限と定積分をやっているのですが宿題で出された問題の一つがどうしても解けないので質問しました。途中過程も書かなくてはいけないので途中式も含めた形で答えてくださるとありがたいです。表記の仕方があまり分からないので見にくくなってしまってすみませんが一応^5や^2は5乗と2乗のつもりで真中に引いてある------ は分数の表示のつもりです。よろしくお願いします。 問 lim （1+2+3+・・・+n)^5 n→∞ -------------------------- (1+2^4+3^4+・・・+n^4)^2
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。とても参考になりました。これで、何とかなります。m(__)m