関数

質問

次の関数が与えられた定義域と値域をとるように
a,bの値を定めよという問題ですが、

（１）y=2x+a, -1≦x≦1, 2≦y≦b

（２）y=ax+b, -1≦x≦4, -11≦y≦4

それぞれわかりやすく過程もつけて教えていただけたら
嬉しいです。
お願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)
y=2x+a の傾きが2で増加関数（xが増加するとyも増加する関数）なので
定義域の下限のx=-1でのyがyの値域の下限値y=2となるから　yの下限:-2+a=2 ∴a=4
定義域の上限のx=1でのyがyの値域の上限値y=bとなるから yの上限:2+a=b ∴b=2+a=6
とa,bの値が決まります。

(2)
a=0とするとy=b=一定となって値域の条件を満たしませんのでa≠0
a≠0なので、a>0,a<0の場合についてy=ax+bがそれぞれ増加関数、減少関数になるので場合分けしてやる必要があります。

(A)a>0の時　y=ax+b　の傾き>0なので
x=-1のとき　yは値域の下限値をとるので　-a+b=-11 …(A-1)
x=4のとき　 yは値域の上限値をとるので 4a+b=4 …(A-2)
(A-1),(A-2)を連立にして解けば a=3,b=-8 と求まります。これは場合の条件を満たします。

(B)a<0の時　y=ax+b　の傾き<0なので
x=-1のとき　yは値域の上限値をとるので　-a+b=4 …(B-1)
x=4のとき　 yは値域の下限値をとるので 4a+b=-11 …(B-2)
(B-1),(B-2)を連立にして解けば a=-3,b=1 と求まります。これは場合の条件を満たします。

したがって、答えは　(a,b)=(3,-8), (-3,1) の2通り存在します。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

bgm38489

定義域、値域というとややこしいが、定義域とはｘの範囲、値域とはｙの範囲。
（１）ｘの係数が正の一次関数だから、ｘが小さければ、ｙも小さい。ゆえに、ｘ＝－１の時ｙ＝２、ｘ＝１の時ｙ＝ｂ。これを当てはめればしまい。
（２）ｘの係数が正か負かわからないため、ｘが最小値と、ｙが最小・最大値どちらを取るかわからない。だから、二つのａ，ｂの連立方程式ができる。それを解いて、aの正負関係があっているか、すなわち、ｘが最小値の時ｙが最大値と仮定したのに、aが正になっていたら、おかしい。すなわち、グラフにしたら右上がりか左上がりか。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

wakko777

（１）
　　　Xの範囲がわかっているので、与式に代入してｙの範囲を考えると
　　　-2+a≦ｙ≦2+a

　　　条件より、2≦y≦b　が分かっているので、両辺を比べて
　　　-2+a=2
　　　2+a=b
　　　という２つの式が出る。
　　　後は、それぞれ式を解けばよい。

（２）　（１）と同じく代入して解く。

お礼

ありがとうございました