数学の問題（連続する数の証明）について

質問

中3の女子です。
数学の問題で分からないことがあったので質問します。

「連続する3つの奇数において、最も大きい奇数と真ん中の
和の2乗から最も小さい奇数と真ん中の奇数の和の２乗を
ひいた差は、16でわり切れる」
ことの証明を下記に完成しなさい。

（証明）　整数ｎを使って、最も小さい奇数を2ｎ-1とする。

この問題の解き方が分かんないので、教えてください。
おねがいします。

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

「連続する3つの奇数において」「整数ｎを使って、最も小さい奇数を2ｎ-1とする」だから、

2n-1,2n+1,2n+3を連続する3つの奇数とする。
これ、解りますか？

最も大きい奇数と真ん中の和の2乗
(2n+1+2n+3)^2=(4n+4)^2={4(n+1)}^2=16(n^2+2n+1)=16n^2+32n+16

最も小さい奇数と真ん中の奇数の和の２乗
(2n-1+2n+1)^2=(4n)^2=16n^2

最も大きい奇数と真ん中の和の2乗から最も小さい奇数と真ん中の奇数の和の２乗をひいた差
16n^2+32n+16-16n^2=32n+16=16(2n+1)

日本語が解れば、そのまま数式にするだけで、特に難しいところもなく解けるはずですが、どこが解らなかったのでしょうか？

お礼

nattocurryさんありがあとうございま。

回答No.3

wild_kit

整数ｎを用いて、最も小さい奇数を２ｎ－１とあらわす。
連続している奇数なのだから、真ん中の奇数は２ｎ＋１、一番大きい奇数は２ｎ＋３と表せる。
与えられた条件を式で書き表すと、（２ｎ＋３＋２ｎ＋１）＾２－（２ｎ－１＋２ｎ＋１）＾２
＝　（４ｎ＋４）＾２－（４ｎ）＾２　＝　１６ｎ＾２＋３２ｎ＋１６－１６ｎ＾２
＝　３２ｎ＋１６　＝１６（２ｎ＋１）
従って、連続する３つの奇数に於いて、最も大きい数と真ん中の数との和を二乗したものと、最も小さい数と真ん中の数との和を二乗したものとの差は、真ん中の数と１６を掛けたものである。（当然１６で割り切れる。）

お礼

wild kitさんありがとうございます。

参考にさせていただきます。

回答No.2

rena3

最も小さい奇数が2n-1なので
連続する3つの奇数は
2n-1,2n+1,2n+3
になります
最も大きい奇数と真ん中の和の二乗は
{(2n+3)+(2n+1)}^2
={4(n+1)}^2
=16(n+1)^2---(1)
また
最も小さい奇数と真ん中の和の二乗は
{(2n-1)+(2n+1)}^2
=(4n)^2
=16n^2----(2)
(1)と(2)の差なので
16(n+1)^2-16n^2
=16{(n+1)^2-n^2}
=16(2n+1)
これは16の倍数なので16で割り切れます

お礼

rena3さん回答ありがとうごさいます。

助かります。＾＾