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分散既知の仮説検定
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> (X~-100)/√(σ^2/n) <= U > の100はなぜ110ではないんですか? 検定統計量は(X~-100)/√(σ^2/n)であって、(X~-110)/√(σ^2/n)ではないからです。 > Uの値はわかりそうですが > 最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか 答えを書いてしまいますが、要は検定統計量が帰無仮説の下で棄却域に入る確率がα、対立仮説の下で受容域に入る確率がβとなることを考慮して、必要な標本の大きさを求めます。 Pr{}を括弧内の条件を満たす確率を表すとすると、有意水準0.05なのでU = 1.645とすれば帰無仮説が正しい場合に Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) > 1.645 } = 0.05 となります。 一方対立仮説が正しい場合は、 Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)} となりますが、この場合(X~-110)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことに注意してください。 Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= -1.645} = 0.05 なので 1.645 - 10/√(σ^2/n) <= -1.645 を満たせばβ <= 0.05となります。 従って、この不等式を解けば必要な標本の大きさは n >= {(1.645 + 1.645)*σ/10}^2 = {(1.645 + 1.645)*3/10}^2 = {(3.29*3/10}^2 = 0.974 つまり、nは1以上となることがわかります。 図も作成して考えてみると良いと思います。
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ANo.3 > 一方対立仮説が正しい場合は、 > Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)} > となりますが、 すみません。 これでは意味がわかりませんよね。 「β=」が抜けてました。 β = Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)}
ANo.1 > となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに > (X~-100)/√(σ^2/n) > U > となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。 修正するのを忘れてました。 (X~-100)/√(σ^2/n) <= U に訂正。 その後の不等式も同じです。
補足
すみませんがよくわからないです (X~-100)/√(σ^2/n) <= U の100はなぜ110ではないんですか? Uの値はわかりそうですが 最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか
> (X~-μ)/√(σ^2/n)という変換でt検定を行えばよいというのはわかるんですが いえ、分散既知なのでいわゆるZ検定を行うことになります。 > H0,μ=100 > H1,μ=110 なので片側検定になります。 棄却限界をUとおくと、帰無仮説が正しいときに (X~-100)/√(σ^2/n) > U となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに (X~-100)/√(σ^2/n) > U となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。 帰無仮説が正しいとき場合、Uは(X~-100)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことから決められますよね? あとは、対立仮説が正しい場合で (X~-100)/√(σ^2/n) > U をうまく変形してnを求めます。
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