• ベストアンサー

分散既知の仮説検定

正規分布N(μ,σ^2)の母分散はすでにわかっていて(σ^2=9) 標本平均X~を用いて仮説 H0,μ=100 H1,μ=110 このような検定を有意水準α=0.05でするとき 第2種の誤りβも0.05未満にしたい  標本数nはどれぐらい必要なのかという問題です あらかじめnとX~がわかれば (X~-μ)/√(σ^2/n)という変換でt検定を行えばよいというのはわかるんですが nを求めるとはどういう手順をふんでいけばいいんでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#227064
noname#227064
回答No.3

> (X~-100)/√(σ^2/n) <= U > の100はなぜ110ではないんですか? 検定統計量は(X~-100)/√(σ^2/n)であって、(X~-110)/√(σ^2/n)ではないからです。 > Uの値はわかりそうですが > 最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか 答えを書いてしまいますが、要は検定統計量が帰無仮説の下で棄却域に入る確率がα、対立仮説の下で受容域に入る確率がβとなることを考慮して、必要な標本の大きさを求めます。 Pr{}を括弧内の条件を満たす確率を表すとすると、有意水準0.05なのでU = 1.645とすれば帰無仮説が正しい場合に Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) > 1.645 } = 0.05 となります。 一方対立仮説が正しい場合は、 Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)} となりますが、この場合(X~-110)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことに注意してください。 Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= -1.645} = 0.05 なので 1.645 - 10/√(σ^2/n) <= -1.645 を満たせばβ <= 0.05となります。 従って、この不等式を解けば必要な標本の大きさは n >= {(1.645 + 1.645)*σ/10}^2 = {(1.645 + 1.645)*3/10}^2 = {(3.29*3/10}^2 = 0.974 つまり、nは1以上となることがわかります。 図も作成して考えてみると良いと思います。

その他の回答 (3)

noname#227064
noname#227064
回答No.4

ANo.3 > 一方対立仮説が正しい場合は、 > Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)} > となりますが、 すみません。 これでは意味がわかりませんよね。 「β=」が抜けてました。 β = Pr{ (X~-100)/√(σ^2/n) <= 1.645 } = Pr{ (X~-110)/√(σ^2/n) <= 1.645 - 10/√(σ^2/n)}

anisakis
質問者

お礼

なんとなく感覚でわかってきました 詳しい解説、回答ありがとうございました

noname#227064
noname#227064
回答No.2

ANo.1 > となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに > (X~-100)/√(σ^2/n) > U > となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。 修正するのを忘れてました。 (X~-100)/√(σ^2/n) <= U に訂正。 その後の不等式も同じです。

anisakis
質問者

補足

すみませんがよくわからないです (X~-100)/√(σ^2/n) <= U の100はなぜ110ではないんですか? Uの値はわかりそうですが 最後の不等式でもでてくるX~はどう処理をすればいいんでしょうか

noname#227064
noname#227064
回答No.1

> (X~-μ)/√(σ^2/n)という変換でt検定を行えばよいというのはわかるんですが いえ、分散既知なのでいわゆるZ検定を行うことになります。 > H0,μ=100 > H1,μ=110 なので片側検定になります。 棄却限界をUとおくと、帰無仮説が正しいときに (X~-100)/√(σ^2/n) > U となる確率が0.05であり、また、対立仮説が正しいときに (X~-100)/√(σ^2/n) > U となる確率が0.05未満になるようなnを求めればよいのです。 帰無仮説が正しいとき場合、Uは(X~-100)/√(σ^2/n) が標準正規分布に従うことから決められますよね? あとは、対立仮説が正しい場合で (X~-100)/√(σ^2/n) > U をうまく変形してnを求めます。

関連するQ&A

  • 分散の検定

    昨年末のアクチュアリー試験での問題です。 分散の片側検定において,真の分散が帰無仮説において仮定された分散の3倍になったとき,帰無仮説が確率95%以上で棄却されるようにするには標本数が[ ]個あればよい.ただし,平均は未知とし,有意水準は0.05とする. という問題です。分布に何の仮定もないし、標本数の大きさを問うのだから正規分布近似も適当だとは思えません。とするとχ^2-testではできないように思います。こういう問題の場合、どのように解くものなのでしょうか?

  • 正規母集団で母分散未知の場合の母平均を検定する

    正規母集団で母分散未知の場合の母平均を検定するのに、t分布を使って次のようにしようと思いますがそれでよろしいでしょうか? 1. ある物体(非常にたくさんある)のパーツA、Bのそれぞれの長さの比が4対1であるように思われた。 2. そこで、この長さの比の平均値μ0(ゼロは添え字)=4と仮定し、さらにこの比が正規分布していると仮定する。 3. n=20の標本をとる。 4. 標本平均を「ラージXバー(以下、単にX_と略記)」、不偏分散をs^2、(sは標準偏差)とするとき次の確率変数Tは自由度n-1のt分布に従う。T=(X_-μ0)/(s/√n) 5. 帰無仮説H0=4、 対立仮説H1≠4 6. 有意水準を5%とします。 7. 両側検定とします。 8. 棄却域は2.093以上、または-2.093以下。 9. 20の標本からX_、s を求めて、Tを計算します。 10. もしT=1.8 ならば、帰無仮説は受容されます・・・等々。 このような進め方でよろしいでしょうか、よろしくお願いいたします。

  • エクセルによる母分散の検定

    一つの母集団から標本のサンプルサイズ10、標本平均50、不偏分散100を与え、母分散に関する帰無仮説 σ2=50、有意水準5%としたとき棄却域を求め仮説を検定しろ。 という課題がでたのですが、悪戦苦闘しています。どなたか分かる方教えてください。

  • 数理統計の問題です

    X_1,X_2,....,X_nは指数分布に従う無作為標本。H:μ=1(帰無仮説)A:μ=2(対立仮説)を有意水準α= 0.10で検定する最強力検定とそのときの検出力を求めよ。お願いします。

  • 検定の質問です

    問題がどうしても解けないのでお願いいたします。 母分散と母平均が両方未知で正規母集団から大きさ51の標本を無作為抽出し、不偏分散Vを計算しました。 帰無仮説:母分散がvを有意水準0.05%で検定するときの棄却域をどうか教えてください。 カイ2条分布を用いて解けるとは思うのですが、どのように区間推定したら良いのかわからないのでよろしくお願いいたします。

  • 仮説検定

    仮説検定がよくわからないので、用語の説明をしていただけませんでしょうか。 1.仮説H0を帰無仮説ということがあるのは何でですか。 2.仮説H1は対立仮説ということがあるのは何でですか。 3.棄却域とはどんな領域なのか。 4.有意水準とはどんな水準なのか。 5.仮設H0が棄却されるのはどんなときなのか。また、H0を棄却する論拠は何なのか。

  • 統計の問題【至急お願いします】

    統計の問題にほとんど手が出ません。 お恥ずかしいですがよろしくお願いします。 x1,x2,…,xnが平均μ、分散1の正規分布N(μ,1)をしている母集団からの大きさnの無作為標本であるとする。x^-=Σ[i=1→n](xi/n)と置く。帰無仮説H0:μ=0を有意水準0,05で検定する。回答に必要な記号は適宜説明して用いよ。 標準正規分布上側確率0.025の点は1.96であることを用いよ。 1)対立仮説H1:μ≠0とした場合およびμ>0とした場合の棄却域を与えよ。 2)検出力について一般的に説明し、2)で与えた2つの棄却域についてμ>0の時の検出力と比較せよ。 3)x^-の値が正であることを観測してから対立仮説をμ>0とする方法について考えを述べよ。 自作解答 2)検出力とは、対立仮説H1が正しい時に正しく仮説を棄却する確率のことを言う。 検出力=1-(第二種の過誤を犯す確率)

  • 棄却域の求め方について

    棄却域の求め方について 分からない問題があるので質問させてください。 2つの母集団X,Yがあり、それぞれ正規分布N((μ1),(σ1)^2) , N((μ2),(σ2)^2)である。 このとき、帰無仮説H0 : μ1=μ2 対立仮説H1 : μ1 < μ2 を設定し、有意水準をαで検定したい。2つの母集団から選んだ標本の計測値をそれぞれ x[1],x[2],...x[m] , y[1],y[2],...,y[n]とする。(σ1)^2 = (σ2)^2 として良い時の仮説H0の棄却率を求めよ。 このような問題です。よろしくおねがいしますm(_ _)m

  • 仮説検定について 至急お願いいたします(>_<)

    いくつか課題が出たのですが、難しくて手がつけられません… (1)長期的な視点で運用していると、株価収益率は必ず正になると言われている。そこで2007年1月から12月までの一年間のデータを取り上げ、月次株価収益率を計算したところ、5%であった。標本標準偏差は3%であった。月次株価収益率が正規分布に従うとして、「株価収益率が正になる」という仮説を有意水準5%で検定しなさい。 (2)「A市の平均所得はB市の平均所得に等しい」かどうかを知りたい。B市の平均所得は500万円であることがわかっている。そこでA市に住む100世帯を無作為に選んで調べたところ、平均所得は600万円で、標本標準偏差は50万円であった。有意水準を5%としてこの仮説を検定しなさい。 どなたか知識のある方、どうかよろしくお願いいたします(>_<)

  • 仮説検定の問題

    Sくんは新学期が始まってから、学校中をまわり、162人に紅白歌合戦を見たかを聞きました。その結果、145人が見たと答え、17人が見ていないと答えました。  このデータで学校のみんな(9割以上)が紅白歌合戦を見たといえるか。有意水準α=0.01で仮説検定しなさい。ただし、全校生徒は162人よりも十分多いとする。 この場合、帰無仮説をp=0.9、対立仮説をp>0.9と設定するところまでは分かったのですが、 標本平均、母分散、検定統計量をどのように設定し、どのように解くのかがわかりません。 どなたか解説お願いします。