独立した複数の証明方法は存在するのですか？

質問

趣味で数学を勉強してるものです。

ふと思ったことですが
数学で証明方法が複数ある場合ですが
このとき各々の証明方法が完全に独立しているようなことってあるのでしょうか・・

例えば、一つの証明において欠陥が見つかり使えないとわかったとき
別の独立した証明を使うというようなことができたりするのでしょうか？

漠然とした疑問ですみませんが
アドバイス頂ければありがたいです。

回答No.9

alice_44

公理系が冗長かどうかは？

回答No.8

Knotopolog

＃１です．ＡＮｏ.６の補足に対する回答：

＞まだ、わからないとこがありまして・・・
＞「直角はすべて同じ」は、あくまでも経験的な前提であって
＞「それが正しいかは決められない」とは考えられないのでしょうか。

「直角はすべて同じ」が，経験的な前提ではなく，現在では，ユークリッド原論（幾何学）の第４公準であることをＡＮｏ.７で，eibuさんが説明してくれていますので質問者さんも納得されたことと思います．私の言葉足らずでした．

また，質問者さんの

＞「それが正しいかは決められない」とは考えられないのでしょうか。

と言う．数学的感覚について，少し書いておきましょう．

数学（数学理論）の始まりは，まず，「無定義述語」(「無定義用語」とも言う)を決めます．例えば，「無定義述語」には，ユークリッド幾何学での「直線」があります．「直線」に関しては，「直線とは何か」を直接定義せずに使います．

また，ペアノの公理では，「自然数」や「1」の用語を「無定義述語」として使用しています．

公理系の項目の１つに採用したり，「無定義述語」に採用した場合は，「それが正しいかどうか」は問いません．証明もせずに使います．数学の，そもそもの始まりは，そうするしかないのです．そうしないと，数学が始められません．

公理系が正しいかどうか？　つまり，公理系が無矛盾かどうかは，後で考察することになります．公理系の無矛盾が証明されれば，それで良いし，もし，公理系に矛盾が発見されれば，全ては，ご破算です．

ただ，それだけの事なのです．

お礼

いろいろ教えていただいて、ありがとうございます。
すごく勉強になります。

回答No.7

eibu

「直角はすべて同じ」は間違っている！
という結論をあなたが言いたいとしましょう。
数学的に論理を進めるには証明が必要です。
それでは証明の前提は何ですか？
その「証明の前提」が正しいことの証明の前提はどう証明しますか？

突き詰めれば、どこかで成るものは成るという定めごと（公準や公理）が必要です。
それはあなたの言う経験的な前提です。
もちろんこの前提は誰かが勝手に決めたのではなく
矛盾が無く、統一的で、数学的に実りがあり、出来る限り直感に反しないように決めてあるのです。

今回の「直角はすべて同じ」はまさにこの経験的な前提です。
ユークリッドの第4公準と呼ばれていて
これは正しいと仮定して数学の論理を進めていこうと決められているのです。

もちろん、この前提から意図的に外れることも出来ます。
必ずしも実りのある結果にはなりませんが、ユークリッドの第5公準から
外れて論理を構築したところ、非ユークリッド幾何学が生まれました（参考URL）。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96

お礼

ありがとうございます。
とても勉強になります。

補足

ひとつわからないことが・・・

ある公準が正しいとして現在の数学が成り立っているようですが、
その公準が正しくないとすると、現在の数学は崩れてしまうのでしょうか・・・

その公準が正しくなくても、成り立つのであれば、安心なのですが・・・

回答No.6

Knotopolog

＃１です．
補足に対する回答です．

＞ピタゴラスの定理の証明で
＞仮に、直角はすべて同じとはいえない（あくまでも、仮定ですけど）
＞となった場合は、その瞬間に「ピタゴラスの定理」は成立しなくなるのでしょうか

＞それとも、なにか別の（直角の概念を使わない）方法で証明できるのでしょうか。

ピタゴラスの定理は，直角３角形に関する定理ですから，直角３角形を前提に証明を進めるのです．

直角３角形でない場合は，ピタゴラスの定理そのものは，関係を絶たれます．つまり，直角３角形でない場合は，その３角形に対して，ピタゴラスの定理は，適用できません．

また，直角はすべて同じです．例えば，∠Ａ＝９０゜，∠Ｂ＝∠Ａ ⇒ ∠Ｂ＝９０゜です．

「直角はすべて同じとはいえない」と言うことはありません．「直角はすべて同じ」です．

補足

アドバイスありがとうございます。

まだ、わからないとこがありまして・・・
「直角はすべて同じ」は、あくまでも経験的な前提であって
「それが正しいかは決められない」とは考えられないのでしょうか。

回答No.5

alice_44

ひとつの定理に複数の証明がありえるのは
あたりまえですが、異なる証明が「完全に独立」
云々となると、何を以て独立と言うのか、
微妙な話だと思います。

数学全体を公理的に定義するとして、
ある定理の証明にどの公理を使うか使わないか
は、証明木が異なっても一緒なのではないかと。
違ったとしたら、単にどちらかの証明が冗長
なのではないかと思うのです。

無論、証明の芸術的価値は、個々の証明木にあります。
歴史的経緯が別個だということを
独立と呼んでしまうこともあるでしょう。
しかし、それらとは別に、基礎論的に独立か？
という観点もあると思うからです。

質問の後半部分が、どうも、
論理系の冗長性のことを言っているように
感じられたので、こんな回答をしてみました。

お礼

アドバイスありがとうございます。
ANo1の方の欄に補足を書いてみました。

回答No.4

Knotopolog

＞例えば、一つの証明において欠陥が見つかり使えないとわかったとき
＞別の独立した証明を使うというようなことができたりするのでしょうか？

何かを証明したい場合，例えば，「命題Ａ」を証明したいとします．
「命題Ａ」の証明の中で，「定理Ｂ」を使うとき，
「定理Ｂ」の証明は，正しい証明が，唯一つあるだけで十分です．
「定理Ｂ」の証明に，間違えた証明があろうとも，複数の「定理Ｂ」の証明があろうとも，それは，関係ありません．「定理Ｂ」は正しく証明されているという保証さえ在れば，それで問題はありません．

また，別の「命題Ｃ」を証明する場合．
「定理Ｄ」の中で用いられている証明手法（証明方法）を部分的に用いるにしても，「命題Ｃ」の証明に使うには，欠陥があり使えない場合，別の独立した証明方法を使うということは，頻繁に行われる事です．

数学の証明の内容は，正しいか，正しくないか，のどちらかしか問われません．正しい論理が展開させるているのであれば，どんな内容でも構いません．証明の内容に制限はありません．

お礼

アドバイスありがとうございます。
ANo1の方の欄に補足を書いてみました。

回答No.3

akatsuki_0

数学に独立した証明があるというのは#1さんの例で明らかですかね。
数学では一度証明されたら、その証明が使えなくなるということはないと思います。ですが、関連する話題として、次のような例はどうでしょうか。
直観主義では「A→(B∨C)」から「(A→B)∨(A→C)」の推論ができません（古典論理だとトートロジーですが）。その理由は「→」の独特な解釈にあります。「φ→ψ」はφに関するどんな証明を受け取った場合でも、ψの証明に変換できるという意味だとされます。それを踏まえると、Aに関するどんな証明を受け取った場合でも、BかCの証明にはできるけれども、どんな場合でもBの証明に、あるいはどんな場合でもCの証明に変換できるとは限りません。このことは、証明の形というものが意味を持ってくる例になると思います。

お礼

アドバイスありがとうございます。
ANo1の方の欄に補足を書いてみました。

回答No.2

Tacosan

もちろんあります.

ただ, 「例えば」以下で何を言わんとしているのかはわからない. 欠陥が見つかるなら, それはふつう「証明」じゃないわけで....

お礼

アドバイスありがとうございます。
ANo1の方の欄に補足を書いてみました。

回答No.1

Knotopolog

ピタゴラスの定理の証明には，独立な証明が沢山あります．

お礼

アドバイスありがとうございます。

補足

補足させてください。
ピタゴラスの定理の証明で
仮に、直角はすべて同じとはいえない（あくまでも、仮定ですけど）
となった場合は、その瞬間に「ピタゴラスの定理」は成立しなくなるのでしょうか

それとも、なにか別の（直角の概念を使わない）方法で証明できるのでしょうか。